相似三角形的判定及有关性质
共439题

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相似三角形的判定及有关性质
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题型：简答题

简答题

已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．

正确答案

证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，

所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

∴

作AE⊥BD于点E，

则．

故得证．

解析

证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，

所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

∴

作AE⊥BD于点E，

则．

故得证．

题型：简答题

简答题

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

（1）BC=DC；

（2）△BCD∽△GBD．

正确答案

证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AF=CD

∵=，∴BC=AF，∴CD=BC．

（2）由（1）知=，所以=．

所以∠BGD=∠DBC．

因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

解析

证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AF=CD

∵=，∴BC=AF，∴CD=BC．

（2）由（1）知=，所以=．

所以∠BGD=∠DBC．

因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

题型：填空题

填空题

如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PC过圆心O，且与圆O交于B，C两点，过C点作CD⊥PA，垂足为D，PA=4，BC=6，那么CD=______．

正确答案

解析

解：由题意，利用切割线定理可得：42=PB•（PB+6），

∴PB=2，

∴PO=5，

连接OA，则OA⊥PA，

∵CD⊥PA，

∴△OAP∽△CDP，

∴，

∴

∴CD=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D，使BC=CD，过点C作圆O的切线交AD于E．

（Ⅰ）求证：CE⊥AD；

（Ⅱ）若AB=2，ED=，求证：△ABD是等边三角形．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．

又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．

∴CE⊥AD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴△CED∽△ACB．

∴，又CD=BC，

∴BC==1，

∴BD=2BC=2，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形．

解析

（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．

又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．

∴CE⊥AD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴△CED∽△ACB．

∴，又CD=BC，

∴BC==1，

∴BD=2BC=2，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形．

题型：简答题

简答题

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．

（1）求证：∠P=∠EDF；

（2）求证：CE•EB=EF•EP；

（3）若CE：BE=3：2，DE=6，EF=4，求PA的长．

正确答案

解（1）∵DE2=EF•EC，

∴DE：CE=EF：ED．

∵∠DEF是公共角，

∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．

∵CD∥AP，∴∠C=∠P．

∴∠P=∠EDF．

（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，

∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．

（3）∵DE2=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．

∵CE：BE=3：2，∴BE=6．

∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=．

∴PB=PE-BE=，PC=PE+EC=．

由切割线定理得：PA2=PB•PC，

∴PA2=×．∴PA=．

解析

解（1）∵DE2=EF•EC，

∴DE：CE=EF：ED．

∵∠DEF是公共角，

∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．

∵CD∥AP，∴∠C=∠P．

∴∠P=∠EDF．

（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，

∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．

（3）∵DE2=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．

∵CE：BE=3：2，∴BE=6．

∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=．

∴PB=PE-BE=，PC=PE+EC=．

由切割线定理得：PA2=PB•PC，

∴PA2=×．∴PA=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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