余弦定理
共2401题

· 余弦定理

余弦定理
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题型：简答题

简答题

已知向量a=(sinωx，cosωx)，b=(cosωx，cosωx)（ω＞0），函数f(x)=•-的最小正周期为π．

（I）求函数f（x）的单调增区间；

（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2+c2=a2+bc，求f（A）的值．

正确答案

（I）f(x)=•-=sinωxcosωx+cos2ωx-=sin2ωx+cos2ωx

=sin(2ωx+)…（3分）

∵f（x）的最小正周期为π，且ω＞0．

∴=π，解得ω=1，…（4分）

∴f(x)=sin(2x+)．

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z…（5分）

得f（x）的增区间为[-π+kπ，+kπ](k∈Z)…（6分）

（II）由b2+c2=a2+bc，∴b2+c2-a2=bc，

又由cosA===…（8分）

∴在△ABC中，A=…（9分）

∴f(A)=sin(2×+)=sin=…（12分）

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量=(1，sin(B-A))，平面向量=（sinC-sin（2A），1）．

（I）如果c=2，C=，且△ABC的面积S=，求a的值；

（II）若⊥，请判断△ABC的形状．

正确答案

（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4，

∵△ABC的面积等于，

∴absinC=．

∴ab=4．

联立方程组得解得a=2，b=2．

∴a=2．

（II）∵⊥，∴sinC-sin2A+sin（B-A）=0．

化简得cosA（sinB-sinA）=0．

∴csoA=0或sinB-sinA=0．

当cosA=0时，A=，

此时△ABC是直角三角形；

当sinB-sinA=0时，即sinB=sinA，

由正弦定理得b=a，

此时△ABC为等腰三角形．

∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．

题型：简答题

简答题

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC．

（1）求cosA；

（2）若a=3，△ABC的面积为2，求b，c．

正确答案

（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，

化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，

变形得：3（cosBcosC-sinBsinC）=-1，

即cos（B+C）=-，

则cosA=-cos（B+C）=；

（2）∵A为三角形的内角，cosA=，

∴sinA==，

又S△ABC=2，即bcsinA=2，解得：bc=6①，

又a=3，cosA=，

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：b2+c2=13②，

联立①②解得：或．

题型：简答题

简答题

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是，b，c且。

（1）求B；

（2）求的值。

正确答案

解：（1），

又，

∴，B为锐角，

∴B=60°。

（2）∵B=60°，

∴

。

题型：简答题

简答题

已知f(x)=cosx(sinx+cosx)

（1）当x∈[0，]，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x；

（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=-，f（A）=，试求△ABC的面积S．

正确答案

（1）∵f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，x∈[0，]，可得（2x+）∈[，]，

sin（2x+）∈[-，1]，故f（x）的值域为[0，]，当x=时，函数f（x）取得最大值．…（6分）

（2）由f（A）==sin（2A+）+，可得sin（2A+）=0，A=，故 sinA=sin（+）=sincos+cossin=．

可得△ABC的面积S=bc•sinA=×(-)×=．…（6分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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