余弦定理
共2401题

· 余弦定理

余弦定理
共2401题

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题型：简答题

简答题

如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离。

正确答案

解：在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，

∴∠CAD=30°，

∴AC=CD=，

在△BDC中，∠CBD=180°-(45°+75°) =60°，

在△BCD中，由正弦定理得，

则在△ABC中，由余弦定理得

-2AC·BC·cos∠BCA

，

∴AB=，

∴两目标A，B之间的距离为km。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，C=2A，a+c=10，cosA=，求b。

正确答案

解：由正弦定理得，

∴，

又a+c=10，

由余弦定理-2bccosA，-9b+20=0，

∴b=4或b=5，

当b=4时，

∵a=4，∴A=B，

又C=2A，且A+B+C=π，

∴，与已知cosA=矛盾，不合题意，舍去；

当b=5时，满足题意。

题型：简答题

简答题

在某海域，以点E为中心的7海里以内海域足危险区域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C，

（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/时）；

（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入危险水域，并说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）如图，

，

由余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosθ，

得，

所以船的行驶速度为（海里/小时）；

（Ⅱ）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q，

在△ABC中，由余弦定理得，

，

从而，

在△ABQ中，由正弦定理得，

，

所以AE=55＞40=AQ，且QE=AE-AQ=15，

过点E作EP⊥BC于点P，

在Rt△QPE中，

PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC

=QE·sin（45°-∠B），

所以船会进入危险水域。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知c=2，。

（1）若△ABC的面积等于，求a、b的值；

（2）若sinC+sin（B-A） =2sin2A，求△ABC的面积。

正确答案

解：（1）余弦定理即已知条件得，a2+b2-ab=4

又因为△ABC的面积等于

所以，得ab=4

联立方程，得解得a=2，b=2。

（2）由题意得sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，

即sinBcosA=2sinAcosA

当cosA=0时，

当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a

联立方程，得

解得

所以△ABC的面积为。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，。

（1）求角B；

（2）若sinA=，求cosC的值。

正确答案

解：（1）依题意得

sin2A-sin2B=sin（A+B）（sinA-sinC） =sinAsinC-sin2C，

由正弦定理得：a2-b2=ac-c2，

∴a2+c2-b2=ac，

由余弦定理知：cosB=，

∴B=。

（2）∵sinA=，∴＜sinA＜，

∴或，

又B=，

∴，

∴cosA=，

∴cosC=cos（-A）=coscosA+sinsinA=-。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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