三角函数_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

设f（x）=sin2x+mcos2x，若对一切x∈R，都有f（x），则=______．

正确答案

解析

解：由题意知：

f（x）=sin2x+mcos2x=sin（2x+φ），（sinφ=，cosφ=）

由题意得：当x=时函数f（x）=sin2x+mcos2x取到最值±，

将x=代入可得：sin（2×）+mcos（2×）==±，即m=1

∴f（x）=sin2x+mcos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），

则f（）=sin（2×+）=sin=．

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

设向量=（cos（α+β），sin（α+β）），=（cos（α-β），sin（α-β）），且+=（，）．

（1）求tanα；

（2）求．

正确答案

解：（1）由题意得，

+=（cos（α+β）+cos（α-β），sin（α+β）+sin（α-β））=（，），

所以，化简得，

得，tanα=；

（2）由（1）得，tanα=，

所以==

===．

解析

解：（1）由题意得，

+=（cos（α+β）+cos（α-β），sin（α+β）+sin（α-β））=（，），

所以，化简得，

得，tanα=；

（2）由（1）得，tanα=，

所以==

===．

1

题型：单选题

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单选题

cos20°sin65°-sin20°cos65°=（　　）

A

B

C

D-

正确答案

C

解析

解：cos20°sin65°-sin20°cos65°

=sin（65°-20°）

=sin45°

=

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

已知函数，直线x=m与f（x）和g（x）的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值______．

正确答案

4

解析

解：∵f（x）=sin（x-）+cos（x-）=2[sin（x-）+cos（x-）]

=2sin（x-+）=2sinx

∴g（x）=f（-x）=2sin（-x）=2cosx

又|MN|=|f（m）|+|g（m）|=|2sinm|+|2cosm|=4（|sinm|+|cosm|）=4|sin（m+φ）|

∴|MN|的最大值为4

故答案为：4

1

题型：简答题

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简答题

求已知α、β均为锐角，且cosα=，sinβ=，求角α-β．

正确答案

解：∵cosα=，sinβ=，α、β均为锐角，

∴sinα==，cosβ==，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

=•-•

=-=-，

又α-β∈（-，），

∴α-β=-．

解析

解：∵cosα=，sinβ=，α、β均为锐角，

∴sinα==，cosβ==，

∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

=•-•

=-=-，

又α-β∈（-，），

∴α-β=-．

1

题型：填空题

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填空题

已知sinα-cosα=，0≤α≤π，则sin（2）=______．

正确答案

解析

解：∵sinα-cosα=，sin2α+cos2α=1，

又∵0≤α≤π，∴sinα≥0，

解方程组可得+，

∴sin2α=2sinαcosα=，

cos2α=cos2α-sin2α=-，

∴sin（2）=sin2α-cos2α==

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx+1．

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求f（x）在上的值域．

正确答案

解：（1）因为…（2分）=…（4分）

所以f（x）的最小正周期，最大值为4．…（7分）

（2）∵x∈[0，]

∴2x-∈[-，]，…（9分）

∴-≤sin（2x-）≤1 …（12分）

所f（x）在上的值域[1，4]…（14分）

解析

解：（1）因为…（2分）=…（4分）

所以f（x）的最小正周期，最大值为4．…（7分）

（2）∵x∈[0，]

∴2x-∈[-，]，…（9分）

∴-≤sin（2x-）≤1 …（12分）

所f（x）在上的值域[1，4]…（14分）

1

题型：填空题

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填空题

函数y=|sinx|+|cosx|（x∈R）的单调减区间是______．

正确答案

[+，+]（k∈Z）．

解析

解：∵y=|sinx|+|cosx|＞0，

∴y2=sin2x+cos2x+2|sinx||cosx|

=1+|sin2x|，

∴y=，即y=|sinx|+|cosx|=，

∵函数y=sin2x的周期为π，

∴y=|sin2x|的周期为，

在一个周期[0，]内，函数y=|sin2x|的减区间为[，]，

∴原函数y=的单调减区间为：[+，+]（k∈Z）．

故答案为：[+，+]（k∈Z）．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=3sin+4cos的最大值是（　　）

A5

B-5

C6

D-6

正确答案

A

解析

解：y=3sin+4cos

=5（sin+cos）

=5sin（+θ），（tanθ=），

∴f（x）=5sin（+θ），

∴（f（x））max=5，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

函数在x∈R上的最小值等于______．

正确答案

-2

解析

解：∵f（x）=sinx+sin（+x）

=sinx+cosx

=2sin（x+），

∴f（x）在x∈R上的最小值等于-2．

故答案为：-2．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=acos（πx+β）+bsin（πx+α），且f（2013）=6，则f（2014）的值是（　　）

A-6

B-1

C-3

D6

正确答案

A

解析

解：∵f（2013）=acos（2013π+β）+bsin（2013π+α）

=acos（π+β）+bsin（π+α）

=-acosβ-bsinα=6，

∴f（2014）=acos（2014π+β）+bsin（2014π+α）

=-acosβ+bsinα=-6，

故选：A

1

题型：填空题

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填空题

化简：sin（α-）cos（α-π）-sin（α-2π）cos（）=______．

正确答案

-1

解析

解：由诱导公式可得sin（α-）cos（α-π）-sin（α-2π）cos（）

=cosα（-cosα）-sinα•sinα=-（cos2α+sin2α）=-1

故答案为：-1．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cos2x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=对称．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后与函数g（x）=sin2x的图象重合，求k的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=对称，

∴f（0）=f（），

∴2-1=1+a-1，∴a=1；

（Ⅱ）f（x）=2cos2x+2asinxcosx-1=cos2x+sin2x=sin（2x+），

函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后，得到g（x）=sin[2（x-k）+）]=sin（2x-2k+）=sin2x，

∴k的最小值为．

解析

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos2x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=对称，

∴f（0）=f（），

∴2-1=1+a-1，∴a=1；

（Ⅱ）f（x）=2cos2x+2asinxcosx-1=cos2x+sin2x=sin（2x+），

函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后，得到g（x）=sin[2（x-k）+）]=sin（2x-2k+）=sin2x，

∴k的最小值为．

1

题型：填空题

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填空题

已知，，则f（x）的最大值为______．

正确答案

2

解析

解：f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），

∵x∈[，]，∴x+∈[，]，

∴≤sin（x+）≤1，1≤2sin（x+）≤2，即1≤f（x）≤2，

则f（x）的最大值为2．

故答案为：2

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的定义域及最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最值．

正确答案

解：（Ⅰ）由sinx≠0 得，x≠kπ （k∈z），

故f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈zZ}．…（2分）

因为f（x）==（2sinx-2cosx）cosx+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…（6分）

所以f（x）的最小正周期 T==π．…（7分）

（II）由 x∈[，]，可得 2x∈[，π]，故2x-∈[，]，…..（9分）

故当2x-=，即x= 时f（x）取得最小值为 1，…．（11分）

当2x-=，即x= 时，函数f（x）取得最大值为 2．…．（13分）

解析

解：（Ⅰ）由sinx≠0 得，x≠kπ （k∈z），

故f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈zZ}．…（2分）

因为f（x）==（2sinx-2cosx）cosx+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），…（6分）

所以f（x）的最小正周期 T==π．…（7分）

（II）由 x∈[，]，可得 2x∈[，π]，故2x-∈[，]，…..（9分）

故当2x-=，即x= 时f（x）取得最小值为 1，…．（11分）

当2x-=，即x= 时，函数f（x）取得最大值为 2．…．（13分）

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