三角函数_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知cosαcosβ-sinαsinβ=0，那么sinαcosβ+cosαsinβ的值为（

A-1

B0

C1

D±1

正确答案

D

解析

解：∵cosαcosβ-sinαsinβ=0，

∴cos（α+β）=0，

∴sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=±1

故选：D

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题型：填空题

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填空题

已知f（x）=sin（x+），若cosα=（0＜α＜），则f（α+）=______．

正确答案

解析

解：∵cosα=，且0＜α＜，

∴sinα==，

又∵f（x）=sin（x+），

∴f（α+）=sin（α++）

=sin（α+）=（sinα+cosα）

=，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

cos10°+sin10°=______．

正确答案

2sin40°

解析

解：∵cos10°+sin10°=2（cos10°+sin10°）=2sin（30°+10°）=2sin40°，

故答案为：2sin40°．

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题型：单选题

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单选题

若α、β∈（0，），且有sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，则tan（α-β）的值为（　　）

A

B-

C±

D±

正确答案

B

解析

解：由α、β∈（0，），sinα-sinβ=-，cosα-cosβ=，可得0＜α＜β＜，

且，两式相加求得cos（α-β）=，

∴sin（α-β）=-=-，∴tan（α-β）==-，

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

已知△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则下列叙述错误的是（　　）

①sin3B=2sinC ②tantan=1 ③＜B＜ ④∈（，]．

A①②

B②③

C③④

D①④

正确答案

D

解析

解：△ABC为锐角三角形，并且A=2B，则C=π-A-B=π-3B，

对于①，sinC=sin（π-3B）=sin3B，则①错；

对于②，tan=tan=，则②对；

对于③，由0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜，即有0＜2B＜，0＜π-3B＜，

即有0＜B＜，且0＜B＜，且＜B＜，则＜B＜，故③对；

对于④，====2cosB，由于＜B＜，则＜cosB＜，

即有∈（，），故④错．

故选D．

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题型：填空题

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填空题

已知，则=______．

正确答案

解析

解：∵=cos[]=cos（）=cos2（）=1-2=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sin2x+2sinxcosx-1，x∈R．

（Ⅰ）求函数[40，50）的单调增区间；

（Ⅱ）函数的图象可由函数y=sinx，x∈R的图象经过怎样的变换得到？

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx-1

=1-cos2x+sin2x-1

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-），

由-+2kπ≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，

即f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（Ⅱ）y=sinxy=sin（x-）y=sin（2x-）y=2sin（2x-）．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx-1

=1-cos2x+sin2x-1

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-），

由-+2kπ≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，

即f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（Ⅱ）y=sinxy=sin（x-）y=sin（2x-）y=2sin（2x-）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（2cosωx+sinωx）sinωx-sin2（+ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．

（Ⅰ）求ω的值和函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）

==．

由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知=，

即ω=1，所以．

令，解得：kπ-≤x≤kπ+，

所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．

（Ⅱ）因为，所以

所以，所以-1≤f（x）≤2，

所以函数f（x）的值域为[-1，2]．

解析

解：（Ⅰ）

==．

由函数f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，知=，

即ω=1，所以．

令，解得：kπ-≤x≤kπ+，

所以函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．

（Ⅱ）因为，所以

所以，所以-1≤f（x）≤2，

所以函数f（x）的值域为[-1，2]．

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题型：单选题

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单选题

已知tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，若α，β∈（-，），则α+β=（　　）

A

B或-

C-或

D-

正确答案

D

解析

解：∵tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，

∴tanα+tanβ=-3，tanα•tanβ=4，

∴tan（α+β）===．

又α，β∈（-，），tanα+tanβ=-3＜0，tanα•tanβ=4＞0，

∴tanα＜0，tanβ＜0，

∴α，β∈（-，0），

∴α+β=-．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，若，则的值为______．

正确答案

解析

解：∵在△ABC中，sinA+cosA=sin（A+）=，

∴sin（A+）=，

∵A∈（0，π），

∴A+∈（，），

∴A+=，

∴A=，

∴tan（A-）=tan=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中 tanA+tanB+=tanAtanB，且sinAcosB=，判断三角形形状．

正确答案

解：∵tanA+tanB+=tanAtanB，

∴tan（A+B）==-，

∴tanC=-tan（A+B）=，

∴C=，

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，

∵sinAcosB=，

∴cosAsinB=，

∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=0，

∴A=B，

∵C=，

∴△ABC为等边三角形．

解析

解：∵tanA+tanB+=tanAtanB，

∴tan（A+B）==-，

∴tanC=-tan（A+B）=，

∴C=，

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，

∵sinAcosB=，

∴cosAsinB=，

∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=0，

∴A=B，

∵C=，

∴△ABC为等边三角形．

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题型：填空题

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填空题

化简：（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）=______．

正确答案

222

解析

解：（1+tan1°）（1+tan2°）…〔1+tan44°）

=[（1+tan1°）（1+tan 44°〕][（1+tan2°）（1+tan 43°〕]…[（1+tan22°）（1+tan 23°〕]

=[（1+）（1+tan 44°〕][（1+）（1+tan 43°〕]…[（1+）（1+tan 23°）]

=2×2…2×2

=222，

故答案为：222．

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题型：填空题

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填空题

已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x-y的最大值是______．

正确答案

解析

解：∵x，y∈（0，），∴tanx=3tany＞0，

∴tan（x-y）===，

∵≥2，当且仅当时取等号，即tany=，

∴tan（x-y）=≤，即tan（x-y）的最大值为，

∵x，y∈（0，），∴-＜x-y＜，则x-y最大值为，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若=4+，则tan（45°+A）=______．

正确答案

解析

解：若=4+，则tan（45°+A）====，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

化简：tan（16°-x）tan（14°+x）+[tan（16°-x）+tan（14°+x）]．

正确答案

解：tan（16°-x）tan（14°+x）+[tan（16°-x）+tan（14°+x）]

=tan（16°-x）tan（14°+x）+ tan30°（1-tan（16°-x）•tan（14°+x）

=tan（16°-x）tan（14°+x）+•（1-tan（16°-x）•tan（14°+x）

=1．

解析

解：tan（16°-x）tan（14°+x）+[tan（16°-x）+tan（14°+x）]

=tan（16°-x）tan（14°+x）+ tan30°（1-tan（16°-x）•tan（14°+x）

=tan（16°-x）tan（14°+x）+•（1-tan（16°-x）•tan（14°+x）

=1．

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