三角函数_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

若函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）是偶函数，则cos（-φ）=______．

正确答案

解析

解：函数f（x）=sin（x+φ）（0＜φ＜π）是偶函数，

∴φ=kπ+，k∈z．结合0＜φ＜π，可得φ=．

∴cos（-φ）=cos（-）=，

故答案为：．

1

题型：单选题

|

单选题

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则下列结论正确的是（　　）

①f（）=0；

②既不是奇函数也不是偶函数；

③f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；

④存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．

A①②

B①③

C②③

D②④

正确答案

A

解析

解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ），

又∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，

∴f（）是f（x）的最大值或最小值，

f（x）的周期为π，

①∵-=为个周期，

∴f（）=0；

②由f（）=sin（+θ）=0，

则θ≠（k∈Z），则既不是奇函数也不是偶函数；

③若f（）是f（x）的最大值，则[kπ+，kπ+]（k∈Z）是f（x）的单调减区间；

④∵-≤a≤，-≤b≤，

∴不存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．

故选A．

1

题型：填空题

|

填空题

若sinα+cosα=，则tanα=______．

正确答案

-

解析

解：∵sinα+cosα=，①

∴令sinα-cosα=t，②

∵＜α＜π，则t＞0，

由①、②两边平方相加，得，+t2=2，

解得，t=，

∴sinα=，cosα=-．

∴tanα==-．

故答案为：．

1

题型：简答题

|

简答题

求cos165°的值．

正确答案

解：cos165°

=cos（180°-15°）

=-cos15°

=-cos（45°-30°）

=-（cos45°cos30°+sin45°sin30°）

=．

解析

解：cos165°

=cos（180°-15°）

=-cos15°

=-cos（45°-30°）

=-（cos45°cos30°+sin45°sin30°）

=．

1

题型：单选题

|

单选题

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B-A）=sin2A，则△ABC的形状为（　　）

A等腰三角形

B直角三角形

C等腰直角三角形

D等腰三角形或直角三角形

正确答案

D

解析

解：∵sinC+sin（B-A）=sin2A，

∴sin（A+B）+sin（B-A）=sin2A，

∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=sin2A，

∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA，

∴2cosA（sinA-sinB）=0，

∴cosA=0，或sinA=sinB，

∴A=，或a=b，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形

故选：D．

1

题型：单选题

|

单选题

角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边在第三象限过点P，且；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边在第二象限经过点Q，且tanβ=-2，则cos∠POQ的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意可得在[0，2π]上，α、β都为钝角，α＞β，且∠POQ=α+-β，∴0＜α-β＜．

∵tan（α-β）====，

再由 cos2（α-β）+sin2（α-β）=1，求得cos（α-β）=，sin（α-β）=，

故 cos∠POQ=cos（α+-β ）=-sin（α-β）=-，

故选B．

1

题型：填空题

|

填空题

已知cos（θ-）=，θ∈（，π），则cosθ=______．

正确答案

-

解析

解：∵cos（θ-）=cosθcos+sinθsin=（cosθ+sinθ）=，

∴cosθ+sinθ=，即sinθ=-cosθ，

又sin2θ+cos2θ=1，

∴（-cosθ）2+cos2θ=1，即2cos2θ-cosθ-=0，

解得：cosθ=，cosθ=-，

∵θ∈（，π），∴cosθ＜0，

则cosθ=-．

故答案为：-

1

题型：单选题

|

单选题

已知cosα=，α∈（0，π），则cos（α-）的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵cosα=，α∈（0，π），

∴=．

∴cos（α-）===．

故选：C．

1

题型：填空题

|

填空题

已知，，则sinα=______．

正确答案

解析

解：由三角函数的公式可得=

=2sin（）cos（）=，

∵，∴＜＜，

∴sin（）≠0，

∴cos（）=，

∴sin（）=，

∵sinα=sin[（）-]

∴sinα=sin[（）-]=sin（）-cos（）

=-=．

故答案为：．

1

题型：单选题

|

单选题

已知cosα=-，则sin（30°+α）+sin（30°-α）的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：sin（30°+α）+sin（30°-α）

=+（）

=cosα=，

故选：A．

1

题型：简答题

|

简答题

已知：△ABC中，=，求证：2b2=a2+c2．

正确答案

证明：由=，

即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），

即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），

由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）

=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β

=sin2α-sin2β，

则有sin2B-sin2C=sin2A-sin2B，

则2sin2B=sin2C+sin2A，

由正弦定理，可得，，

则有，2b2=a2+c2．

解析

证明：由=，

即有sinAsin（B-C）=sinCsin（A-B），

即sin（B+C）sin（B-C）=sin（A+B）sin（A-B），

由于sin（α-β）sin（α+β）=（sinαcosβ-cosαsinβ）（sinαcosβ+cosαsinβ）

=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α（1-sin2β）-（1-sin2α）sin2β

=sin2α-sin2β，

则有sin2B-sin2C=sin2A-sin2B，

则2sin2B=sin2C+sin2A，

由正弦定理，可得，，

则有，2b2=a2+c2．

1

题型：简答题

|

简答题

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（+B）•sin（-B）．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），

即sinB=cos2B-sin2B，

由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB-1=0，

解得sinB=或sinB=-1…（5分）

因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）

（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，

把b=1，B=代入可以得到：

≥，所以=2 …（10分）

所以≤ …（13分）

当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）

解析

解：（Ⅰ）由条件得sinB=2（）（），

即sinB=cos2B-sin2B，

由sin2B+cos2B=1得，2sin2B+sinB-1=0，

解得sinB=或sinB=-1…（5分）

因为△ABC是锐角三角形，所以B=…（7分）

（Ⅱ）由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB，

把b=1，B=代入可以得到：

≥，所以=2 …（10分）

所以≤ …（13分）

当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是…（14分）

1

题型：简答题

|

简答题

已知f（x）=2sinx（sinx+cosx）．

（Ⅰ）求f（x）最小正周期；

（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及此时x的值的集合；

（Ⅲ）求函数f（x）的单调区间．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=sin（2x-）+1，

∵ω=2，∴T==π；

（Ⅱ）由（1）知f（x）的最大值M=+1，

当f（x）=+1时，sin（2x-）=1，

∴2x-=2kπ+，

即x=kπ+3，k∈Z，

则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+3，k∈Z}．

（Ⅲ）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，

解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．

∴函数的递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=sin（2x-）+1，

∵ω=2，∴T==π；

（Ⅱ）由（1）知f（x）的最大值M=+1，

当f（x）=+1时，sin（2x-）=1，

∴2x-=2kπ+，

即x=kπ+3，k∈Z，

则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+3，k∈Z}．

（Ⅲ）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

令2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，

解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．

∴函数的递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

1

题型：单选题

|

单选题

sin15°+cos165°的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：sin15°+cos165°=sin15°-cos15°=sin（45°-30°）-cos（45°-30°）

=sin45°cos30°-cos45°sin30°-cos45°cos30°-sin45°sin30°

=---=，

故选B．

1

题型：简答题

|

简答题

=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），=（-1，0）

（1）若x=，求与的夹角θ；

（2）若x∈[-，]，f（x）=λ•的最大值为，求λ．

正确答案

解：（1）当x=时，=（，），=（-1，0），

∴与的夹角θ满足cosθ==，

∴与的夹角θ=；

（2）f（x）=λ•=λ（sin2x+sinxcosx）

=λ（+sin2x）=λsin（2x-）+λ，

∵x∈[-，]，∴2x-∈[-π，]，

∴sin（2x-）∈[-1，]，

当λ＞0时，可得λ•+λ=，解得λ=；

当λ＜0时，可得λ•（-1）+λ=，解得λ=--1

解析

解：（1）当x=时，=（，），=（-1，0），

∴与的夹角θ满足cosθ==，

∴与的夹角θ=；

（2）f（x）=λ•=λ（sin2x+sinxcosx）

=λ（+sin2x）=λsin（2x-）+λ，

∵x∈[-，]，∴2x-∈[-π，]，

∴sin（2x-）∈[-1，]，

当λ＞0时，可得λ•+λ=，解得λ=；

当λ＜0时，可得λ•（-1）+λ=，解得λ=--1

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析