三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

若，，且，，

求（1）sin2β的值．

（2）cosα的值．

正确答案

解：∵若，，

∴0＜α+β＜π

，，

∴sin（α+β）=

cosβ=，

（1）sin2β=2sinβcosβ==

（2）cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ

=

解析

解：∵若，，

∴0＜α+β＜π

，，

∴sin（α+β）=

cosβ=，

（1）sin2β=2sinβcosβ==

（2）cosα=cos[（α+β）-β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ

=

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题型：简答题

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简答题

已知．

（I）求tanα的值；

（II）若的最小正周期和单调递增区间．

正确答案

解：（I）根据两角和的正切公式得，

整理并解得tanα=1

（Ⅱ）由（I）得α=45°，=sin2x+cos2x=sin（2x+）

∴T=π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z 得kπ-≤x≤kπ+，∴单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）

解析

解：（I）根据两角和的正切公式得，

整理并解得tanα=1

（Ⅱ）由（I）得α=45°，=sin2x+cos2x=sin（2x+）

∴T=π，由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z 得kπ-≤x≤kπ+，∴单调递增区间是[kπ-，kπ+]（k∈Z）

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题型：简答题

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简答题

已知，．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）求函数的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，且，

所以，．

因为=．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．

所以=1-2sin2x+2sinx=，x∈R．

因为sinx∈[-1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；

当sinx=-1时，f（x）取最小值-3．

所以函数f（x）的值域为．

解析

解：（Ⅰ）因为，且，

所以，．

因为=．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．

所以=1-2sin2x+2sinx=，x∈R．

因为sinx∈[-1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；

当sinx=-1时，f（x）取最小值-3．

所以函数f（x）的值域为．

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题型：单选题

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单选题

已知α，β是锐角，sinα=x，cosβ=y，cos（α+β）=-，则y与x的函数关系式为（　　）

A-+x （＜x＜1）

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵知α，β是锐角，sinα=x，cosβ=y，cos（α+β）=-，

∴-sinα=cos（α+90°）＜cos（α+β）=-⇒x＞；

∴cosα==；

sin（α+β）==．

∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα

=-+x （＜x＜1）

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．

正确答案

解：原式=

解析

解：原式=

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题型：单选题

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单选题

已知cos（α+β）=-1，且tanα=2，则tanβ的值等于（　　）

A2

B

C-2

D

正确答案

C

解析

解：由于cos（α+β）=-1，∴sin（α+β）=0，∴tan（α+β）=0，∴=0，

又tanα=2，∴tanβ=-2，

故选C．

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题型：单选题

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单选题

已知α是第三象限的角，则是（　　）

A第一或二象限的角

B第二或三象限的角

C第一或三象限的角

D第二或四象限的角

正确答案

D

解析

解：将平面直角坐标系四个象限均平分如图：

∵α是第三象限的角根据图中只有在图中的第二和第四象限标有3

故可知位于第二、四象限，

故选D．

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题型：单选题

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单选题

若，则tanβ=（　　）

A10

B5

C

D-8

正确答案

D

解析

解：∵，

∴tan（β-）=tan[（β-α）+（α-）]===，

故=，∴tanβ=-8．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知tan=sinC，则△ABC的形状为______．

正确答案

直角三角形

解析

解：∵tan=sinC，

∴=sinC，

∴sin=，

∴=45°，

∴C=90°，

∴△ABC是直角三角形．

故答案为：直角三角形．

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题型：填空题

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填空题

若α∈，且，则cosα=______．

正确答案

解析

解：若α∈，则 ∈（），

∵∴sin（α+）==

由两角差的余弦公式得：

cosα=cos[（α+）-]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

下列6个命题中

（1）第一象限角是锐角

（2）角a终边经过点（a，a）时，sina+cosa=

（3）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=

（4）若cos（α+β）=-1，则sin（2α+β）+sinβ=0

（5）若∥，则有且只有一个实数λ，使=λ．

（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则y=f（x）是周期函数

请写出正确命题的序号______．

正确答案

361°是第一象限角，但不是锐角，故（1）第一象限角是锐角错误；

∵角a终边经过点（a，a）时，当a=-1时，sina+cosa=-，故（2）角a终边经过点（a，a）时，sina+cosa=错误；

若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=±，故（3）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=错误；

若cos（α+β）=-1，则sin（α+β）=0，则sin（2α+β）+sinβ=sin[（α+β）+α]+sin[（α+β）-α]=2sin（α+β）cos（α+β）=0，故（4）正确；

若∥，则有且只有一个实数λ，使=λ．当=时不成立，故（5）错误；

若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则y=f（x）是周期为2的周期函数，故（6）正确；

故答案为：（4）、（6）

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题型：填空题

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填空题

下面有5个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点．④函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程可能是x=．⑤函数y=sin(x-)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是______（写出所有真命题的编号）

正确答案

函数y=sin4x-cos4x=（sin2x+cos•x）•（sin2x-cos2x）=-cos2x的最小正周期是π，故①正确；

终边在y轴上的角的集合是{α|α=+kπ，k∈Z}，故②错误；

在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有一个公共点，故③错误；

函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程是x=+π，k∈Z，当k=0时，x=，故④正确；

函数y=sin(x-)=-cosx在[0，π]上是增函数，故⑤错误

故答案为：①④

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题型：填空题

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填空题

有下列命题：

①终边相同的角的同名三角函数的值相等；

②终边不同的角的同名三角函数的值不等；

③若sinα＞0，则α是第一，二象限的角；

④若sinα=sinβ，则α=2kπ+β，k∈Z；

⑤已知α为第二象限的角，则为第一象限的角．其中正确命题的序号有 ______．

正确答案

三角函数的定义得，①正确；

与-的终边不同，但cos=cos（-），故②错误；

若α=，则sinα＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误；

令α=，β=，则sinα=sinβ，但α≠2kπ+β，k∈Z，故④错误；

α=为第二象限的角，但=为第三象限的角，故⑤错误．

故答案为：①

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题型：简答题

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简答题

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（　　）

①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（，0）对称．

正确答案

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题型：简答题

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简答题

把下列角化成2kπ+α（0≤α＜2π，k∈Z）的形式，并指出它们是第几象限角，写出与其终边相同的角的集合．

（1）-；

（2）-20．

正确答案

（1）-=-8×2π+，它是第二象限角，与-终边相同的角的集合为{a|a=2kπ+，k∈Z}；（2）-20=-4×2π+（8π-20），而π＜8π-20＜2π，∴-20是第四象限角，与-20终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+（8π-20），k∈Z}．

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