三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

（I）求A+B的值；

（II）若，求a，b，c的值。

正确答案

解（I）∵A，B为锐角，

∴

∵

∴

（II）由（I）知，

∴

由得，

即

又∵

∴

∴。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，已知。

（1）求证：tanB=3tanA；

（2）若cosC=，求A的值。

正确答案

解：（1）∵·=3·，

∴cbcosA=3cacosB，

即bcosA=3acosB，

由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，

又0＜A+B＜π，

∴cosA＞0，cosB＞0，

在等式两边同时除以cosAcosB，可

得tanB=3tanA；

（2）∵cosC=，0＜C＜π，

sinC==，

∴tanC=2，

tan[π-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2，

∴=-2，将tanB=3tanA代入得：=-2，

整理得：3tan2A-2tanA-1=0，

即（tanA-1）（3tanA+1）=0，

解得：tanA=1或tanA=-，

又coaA＞0，

∴tanA=1，

又A为三角形的内角，则A=。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin2x+acosx+，a∈R，

（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；

（2）对于区间上的任意一个x，都有f（x）≤1成立，求实数a的取值范围。

正确答案

解：（1）；

（2）。

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题型：简答题

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简答题

（附加题）试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值．

正确答案

设sinx+cosx=t则 2sinxcosx=t2-1…（2分）

其中t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-，]…（4分）

所以函数化为y=t2+t+1=(t+)2+，t∈[-，]…（6分）

所以，当t=-时，ymin=．当t=时，ymax=3+…（10分）

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题型：填空题

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填空题

已知α是锐角，则logcosα(1+tan2α)=______．

正确答案

logcosα(1+tan2α)=logcosα（1+）=logcosα（）=logcosα（）=-2

故答案为：-2．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．

（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；

（2）设x0为f（x）的一个极值点，证明[f(x0)]2=．

正确答案

（1）f（x+2kπ）-f（x）

=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx

=（x+2kπ）Sinx-xSinx

=xSinx+2kπSinx-xSinx

=2kπSinx…（6分）

（2）由f'（x）=sinx+xcosx，

得：f'（x0）=sinx0+x0cosx0=0…（8分）

又sin2x0+cos2x0=1联立，

得：Sin2x0=…（12分）

∴[f（x0）]2=x02Sin2x0=×=…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（1，2）。

（Ⅰ）求tan（π-α）的值；

（Ⅱ）求的值。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，得，

∴。

（Ⅱ）。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinxcosx-a（sinx+cosx）。

（1）若a=1时，求函数f（x）的最值；

（2）若函数f（x）在区间上的最小值等于2，求实数a的值。

正确答案

解：（1）当a=1时，，

令，

∴

∴，

故函数的最大值为，最小值为-1。

（2）令，

∴，

当时，；

当时，无解；

当时，（舍去），

综上所述，。

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题型：填空题

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填空题

已知3sin2α+2sin2β-2sinα=0，则cos2α+cos2β的取值范围为______．

正确答案

∵3sin2α+2sin2β-2sinα=0，

∴2sin2β=2sinα-3sin2α=sinα（2-3sinα）≥0

∴0≤sinα≤

∴cos2α+cos2β=cos2α+（1-sin2β）=cos2α+[1-（2sinα-3sin2α）]=sin2α-sinα+2=（sinα-1）2+

当sinα=0时，cos2α+cos2β取最大值2；

当sinα=，cos2α+cos2β取最小值

故cos2α+cos2β的取值范围为[，2]

故答案为：[，2]

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题型：简答题

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简答题

已知角α的终边经过点P（-3cos θ，4cos θ），其中θ∈(2kπ+，2kπ+π)（k∈Z），

（1）求角α的正弦函数值及余弦函数值；

（2）求的值．

正确答案

（1）∵θ∈（2kπ+，2kπ+π）（k∈Z），

∴cos θ＜0，又x=-3cos θ，y=4cos θ，

∴r===-5cos θ．

∴sin α=-，cos α=…（6分）

（2）f（α）==-cos α=-．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知=，求

（1）sinα-cosα

（2）sin2α+cos2α．

正确答案

（1）∵=，∴=，∴tanα=2．

当α 是第一象限角时，sinα=，cosα=，sinα-cosα=．

当α 是第三象限角时，sinα=-，cosα=-，sinα-cosα=-．

（2）sin2α+cos2α===．

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题型：简答题

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简答题

已知sinα+cosα=且0＜α＜π，求值：

（1）sin3α-cos3α；　　

（2）tanα．

正确答案

（1）∵已知sinα+cosα=，∴平方可得 1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=-．

再由 0＜α＜π，求得 sinα=，cosα=-，∴sin3α-cos3α=(

4

5

)3-(-

3

5

)3=．

（2）由（1）求得 sinα=，cosα=-，∴tanα==-．

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题型：简答题

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简答题

已知在△ABC中，cosA=，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．

（1）求tan2A；

（2）若sin(+B)=，c=2，求△ABC的面积．

正确答案

（1）因为cosA=

所以sinA=，则tanA=．

所以tan2A==2．

（2）由sin(+B)=，

得cosB=，所以sinB=

则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=．

由正弦定得，得a==2，

所以△ABC的面积为S=acsinB=．

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题型：简答题

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简答题

已知tanα，tanβ是方程3x2-4x-5=0的两个根，求cot（α+β）的值．

正确答案

由题意得tanα+tanβ=，tanα•tanβ=-…（4分）

∴tan(α+β)===…（8分）

∴cot（α+β）=2…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinB，1-cosB），向量=（2，0），且与的夹角为，•=1其中A，B，C是△ABC的内角．

（1）求角B的大小；

（2）求sinA+sinC的取值范围．

正确答案

（1）∵=（sinB，1-cosB）与向量=（2，0）所成角为，

∴•=2sinB=×2×cos，

∴sinB+cosB=1，

即sin(B+)=

又∵0＜B＜π，∴＜B+＜

∴B+=

∴B=；

（2）由（1）知，B=，

∴A+C=

∴sinA+sinC=sinA+sin(-A)=sinA+cosA=sin(A+)

∵0＜A＜，

∴＜A+＜，

∴＜sin(A+)≤1，

∴sinA+sinC∈(，1]．

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