三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为。

（1）求tan（α+β）的值；

（2）求α+2β的值。

正确答案

解：（1）由已知条件及三角函数的定义可知

因α为锐角，故sinα>0，从而

同理可得

因此

所以；

（2）

又

故

从而由。

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题型：简答题

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简答题

设函数，，且以为最小正周期。

（I）求f（0）；

（Ⅱ）求f（x）的解析式；

（Ⅲ）已知，求sinα的值。

正确答案

解：（Ⅰ）有题设可知；

（Ⅱ）∵f（x）的最小正周期为

∴

∴；

（Ⅲ）由

∴

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知sinθ+cosθ=，θ∈(0，π)，求值：

（1）tanθ；

（2）sin3θ+cos3θ。

正确答案

解：∵sinθ+cosθ=，θ∈(0，π)，

∴(sinθ+cosθ)2==1+2sinθcosθ，∴sinθcosθ=-＜0，

由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程的两根，

解方程得，，

∵sinθ＞0，cosθ＞0，

∴，

∴(1)；

(2)。

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

正确答案

解：（Ⅰ），

由可得

，解得：。

（Ⅱ）由，可得

，

因此，，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知，，0＜α＜π，0＜β＜，求cos（α+β）的值。

正确答案

解：因为，可知

，解得：，

所以，

，

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知tanα+cotα=，α∈，求cos2α和sin（2α+）的值。

正确答案

解：由，得，

则，，

因为，所以，

，

。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosA=-，cosB=。

（1）求sinC的值；

（2）设BC=5，求△ABC的面积。

正确答案

解：（1）由得

由得

所以；

（2）由正弦定理得

所以的面积

。

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题型：简答题

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简答题

已知，试确定使等式成立的角α的集合。

正确答案

解：∵

，

又∵，

∴，即得sinα=0或|cosα|=-cosα≠0，

∴角α的集合为：或。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosB=， cosC=。

（I）求sinC的值；

（II）设BC=5，求△ABC的面积。

正确答案

解：（Ⅰ）∵，

∴。

（Ⅱ）∵，

∴，

∴

，

由正弦定理，得

，

∴。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosA=，•=3．

（1）求△ABC的面积．

（2）若b+c=6，求a的值．

正确答案

（1）由题意知，cosA=，0＜A＜π

∴sinA==，，∵•=3．

∴•=cbcosA=bc=3，解得，bc=5

∴△ABC的面积S=bcsinA=×5×=2

（2）由（1）知，bc=5，又∵b+c=6，

∴或

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA=20

∴a=2．

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题型：简答题

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简答题

已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），求tanθ及sin3θ-cos3θ的值。

正确答案

解：由，得cosα＜0，∴，

由，∴，

联立，

。

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题型：简答题

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简答题

已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C．

（1）求角C的大小；

（2）若a，c，b成等差数列，且•=18，求c边的长．

正确答案

（1）∵sinA•cosB+sinB•cosA=sin2C

∴sin（A+B）=sin2C，

∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC

∴sinC=sin2C=2sinCcosC，

∵0＜C＜π∴sinC＞0

∴cosC=∴C=．

（2）由a，c，b成等差数列，得2c=a+b．

∵•=18，

即abcosC=18，ab=36；

由余弦弦定理c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，

∴c2=4c2-3×36，c2=36，∴c=6．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，cosB=，

(1)求sinA的值；

(2)设△ABC的面积S△ABC=，求BC的长。

正确答案

解：(1)由cosB=得sinB=，

由cosC=，得sinC=，

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=；

(2)由S△ABC=得×AB×AC×sinA=，

由(1)知sinA=，故，

又AC=，

故，

所以BC=。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，若，判断△ABC的形状，求出cosC的值。

正确答案

解：∵＞0，

∴sinB=，

又sinA=，

∴sinA＜sinB，由正弦定理得a＜b，

由大边对大角得A＜B，

∴A为锐角，

∴cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=＞0，

∴C也为锐角，

∴△ABC为锐角三角形且cosC=。

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题型：简答题

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简答题

已知向量m=(1，)，n=(2，2)(其中ω为正常数)，

(Ⅰ)若ω=1，x∈，求m∥n时tanx的值；

(Ⅱ)设f(x)=m·n-2，若函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，求f(x)在区间[0，]上的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）m∥n时，

，

则，

，

所以，。

（Ⅱ）

，

∵函数f(x)的图象的相邻两个对称中心的距离为，

∴f(x)的最小正周期为π，

又ω为正常数，

∴，解得ω=1，

故，

因为，所以，

故当时，f(x)取最小值。

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