三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则的值等于（），AC的取值范围为（）。

正确答案

2；

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且bc=5．

（Ⅰ）求的值和△ABC的面积；

（Ⅱ）若b2+c2=26，求a的值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，且0＜A＜π，

所以，

∴，

又bc=5，

所以；

（Ⅱ）因为，

所以，

∵bc=5，b2+c2=26，

∵根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=，

∴．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且bc=5．

（Ⅰ）求的值和△ABC的面积；

（Ⅱ）若b2+c2=26，求a的值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，且0＜A＜π，

所以，

∴，

又bc=5，

所以；

（Ⅱ）因为，

所以，

∵bc=5，b2+c2=26，

∴根据余弦定理得：

a2=b2+c2﹣2bccosA=，

∴.

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题型：简答题

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简答题

已知=（1，sinθ），=（1，cosθ），θ∈R。

（1）若+=（2，0），求sin2θ+2sinθcosθ的值；

（2）若-=（0，），θ∈（π，2π），求sinθ+cosθ的值。

正确答案

解：（1），

∴，

∴，，

∴。

（2），

∴，，

∵θ∈（π，2π），且，

∴θ∈（π，π），

∴sinθ+cosθ<0，

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（cosα，sinα）（α∈[-π，0]），向量m=（2，1），n=（0，），且

，

（Ⅰ）求向量；

（Ⅱ）若cos（β-π）=，0＜β＜π，求cos（2α-β）。

正确答案

解：（Ⅰ）∵=（cosα，sinα），，

∵，

∴，

即，①

又sin2α+cos2α=1，②

由①②联立方程解得，

∴=；

（Ⅱ）∵cos（β-π）=，即，0＜β＜π，

∴，

又∵sin2α=2sinαcosα，

，

∴cos（2α-β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ

。

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题型：简答题

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简答题

已知点A（1，0），B（0，1），C（2sinθ，cosθ）。

（Ⅰ）若，求tanθ的值；

（Ⅱ）若，其中O为坐标原点，求sin2θ的值。

正确答案

解：（Ⅰ），

∴，

，

∴，

又，

∴。

（Ⅱ），

∴，

又∵，

∴，即，

∴，

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知向量m=（sinA，cosA），n=（1，-2），且m·n=0。

（1）求tanA的值；

（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域。

正确答案

解：（1）由题意得

m·n=sinA-2cosA=0

因为cosA≠0

所以tanA=2；

（2）由（1）知tanA=2得

因为x∈R

所以

当时，f（x）有最大值

当sinx=-1时，f（x）有最小值-3

所以所求函数f（x）的值域是。

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（cosA，sinA），=（2，-1），且·=0。

（1）求tanA的值；

（2）求函数f(x)=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域。

正确答案

解：（1）由题意得，，

因为cosA≠0，所以tanA=2。

（2）由（1）知tanA=2得，

，

因为x∈R，所以sinx∈[-1，1 ]，

当时，f(x)有最大值；

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3；

故所求函数f(x)的值域是。

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题型：简答题

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简答题

△ABC的面积是30，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=。

（1）求；

（2）若c-b=1，求a的值。

正确答案

解：，

∴，

又，

∴bc=156，

（1）；

（2）由题意，得，∴b=12，c=13，

在△ABC中，由余弦定理得：

=25，

∴a=5。

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题型：简答题

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简答题

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（，）。

（1）若，求角α的值；

（2）若=-1，求的值。

正确答案

解：（1）∵

∴

由得

又

∴。

（2）由得

∴

所以。

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题型：简答题

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简答题

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=c．

（1）求tanAcotB的值；

（2）求tan（A-B）的最大值．

正确答案

（1）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=c

可得sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

即sinAcosB=4cosAsinB，则tanAcotB=4；

（2）由tanAcotB=4得tanA=4tanB＞0tan(A-B)===≤

当且仅当4tanB=cotB，tanB=，tanA=2时，等号成立，

故当tanA=2，tanB=时，tan（A-B）的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

设=（1，cos2θ），=（2，1），=（4sinθ，1），=（sinθ，1），其中。

（1）求的取值范围；

（2）若，，求cosθ-sinθ的值.

正确答案

解：，，

（1），

∵，

∴，

即的取值范围是（0，2）。

（2），

，

∴，

，

∴，

∵，

∴，即，

故。

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题型：简答题

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简答题

已知A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），．

（1）若，求角α的值；

（2）若，求的值．

正确答案

解：（1）由得，

又，所以，。

（2）由，得，

所以，。

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题型：简答题

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简答题

已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），。

（Ⅰ）若||=||，求角α的值；

（Ⅱ）若，求的值。

正确答案

解：（Ⅰ），

∴，

，

由，得，

又，

∴。

（Ⅱ）由，得，

∴， ①

又，

由①式，两边平方，得，

∴，

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1）。

（1）若∥，求sinxcosx的值；

（2）若，求函数的值域。

正确答案

解：（1）∵，

∴，

∴。

（2）

，

∵，

∴，

故函数的值域为[1，]。

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