三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

设向量a＝（2，sinθ），b＝（1，cosθ），θ为锐角，

（1）若a·b＝，求sinθ＋cosθ的值；

（2）若a∥b，求sin（2θ＋）的值。

正确答案

解：（1）因为a·b=2+，

所以，

又因为θ为锐角，

所以sinθ+cosθ=。

（2）因为a∥b，所以tanθ=2，

所以，

，

所以

。

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题型：简答题

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简答题

已知三点A、B、C的坐标分别为A（1，0）、B（0，-1）、C（cosα，sinα），α∈，

（1）若，求角α的值；

（2）若，求的值。

正确答案

解：（1）由题意，得，

∴，

又，

∴。

（2）

，

∴，

平方，得，

∴

=。

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0）。

（1）若c=5，求sin∠A的值；

（2）若∠A是钝角，求c的取值范围。

正确答案

解：（1），

，

∴，

进而。

（2）若A为钝角，则

，解得，

显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为。

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题型：简答题

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简答题

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．

（1）若，求角α；

（2）若，求cosα﹣sinα的值．

正确答案

解：（1）∵点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），

∴，

∵，

∴（2+cosα）2+sin2α=7

∴cosα=

∵0＜α＜π．

∴α=；

（2）∵点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），∴

∵，∴（cosα﹣2）cosα+sinα（sinα﹣2）=0

∴

两边平方得：

∴

∵，0＜α＜π

∴sinα＞0，cosα＜0

∴cosα﹣sinα=．

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题型：简答题

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简答题

已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα ，sinα）， α∈（，）。

（Ⅰ）若||=||，求角α的值；

（Ⅱ）若·=-1，求。

正确答案

解：（Ⅰ）∵，，

∴，

，

由||=||，得，

又∵α∈（，），

∴。

（Ⅱ）·=（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，

∴sinα+cosα=， ①

∵=2sinαcosα ，

由①式平方，得1+2sinαcosα=，

∴2sinαcosα=，

∴=。

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题型：简答题

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简答题

已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）。

（I）若||=||，求角α的值；

（II）若·=-1，求的值。

正确答案

解：（Ⅰ）∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3），

∴||=，

||=，

由||=||，得sinα=cosα ，

。

（Ⅱ）由·=1，

得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1，

∴sinα+cosα=，

由上式，两边平方得1+2sinαcosα=，

又=2sinαcosα ，

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（m，0）。

（1）若=0，求m的值；

（2）若m=5，求sinA的值。

正确答案

解：（1），由可得

解得；

（2）当m=5时，可得，

所以

因为A为三角形的内角，　　　　　　　　

所以。

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三个顶点的坐标为A（3，-4），B（0，0），C（m，0），

（Ⅰ）若，求m的值；

（Ⅱ）若m=5，求sinA的值。

正确答案

解：（Ⅰ）由，

，

解得；

（Ⅱ）当m=5时，

由，

，

又因为，

∴。

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=（2cos，sin），n=（cos，-2sin），m·n=-1，

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若a=2，b=2，求c的值。

正确答案

解：（Ⅰ）∵m·n=-1有，

即2cosA=-1，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

又∵A∈（0，π），

∴，

由正弦定理有，

因B为锐角，故，

由A+B+C=π有，

从而三角形为等腰三角形，所以c=2。

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题型：简答题

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简答题

设是平面上的两个向量，若向量与相互垂直，

（1）求实数λ的值；

（2）若，且，求α的值（结果用反三角函数值表示）

正确答案

解：（1）由题设，得，

即，

所以，（λ﹣1）2sin2α﹣sin2α=0，

即λ（λ﹣2）sin2α=0

因为，

∴sin2α≠0，又λ＞0，

所以λ﹣2=0，即λ=2；

（2）由（1）知，，

∴，

又，

∴，

∵，则，

∴，

又，

∴．

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=2sin．

（1）在图中，用五点法画出此函数在区间内的简图；

（2）求此函数的单调递增区间．

正确答案

解：（1）列表如下：

…（2分）

…（4分）

（2）由，k∈Z

得，k∈Z，

∴该函数的单调递增区间是k∈Z．…（6分）

解析

解：（1）列表如下：

…（2分）

…（4分）

（2）由，k∈Z

得，k∈Z，

∴该函数的单调递增区间是k∈Z．…（6分）

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=，

（1）求φ；

（2）求函数y=f（x）的单调增区间；

（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

正确答案

解：（1）因为是函数y=f（x）的图象的对称轴，所以，即，k∈Z．

因为-π＜φ＜0，所以．

（2）由（1）知，因此．

由题意得，k∈Z，

所以函数的单调增区间为，，k∈Z．

（3）由知：

故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象是

解析

解：（1）因为是函数y=f（x）的图象的对称轴，所以，即，k∈Z．

因为-π＜φ＜0，所以．

（2）由（1）知，因此．

由题意得，k∈Z，

所以函数的单调增区间为，，k∈Z．

（3）由知：

故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象是

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin（2x-）．

（1）求f（）的值；

（2）求函数的最小正周期；

（3）用五点法画出一个周期内的图象，列出表格．

正确答案

解：（1）f（）=sin（2×-）=sin（-）=sin=．

（2）T==π．

（3）五点表格为：

则函数图象为：

解析

解：（1）f（）=sin（2×-）=sin（-）=sin=．

（2）T==π．

（3）五点表格为：

则函数图象为：

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinx⋅cosx-cos2x+．

（Ⅰ）化简函数f（x），并用“五点法”画出函数f（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x的值．

正确答案

解：（I）f（x）=sinx⋅cosx-cos2x+=-cos2x=sin（2x-），

令X=2x-，则x=（X-）．填表：

…（8分）

（Ⅱ）因为x∈[0，]，

所以2x∈[0，π]，2x-∈[-，]…（10分）

所以当x=0时，即2x-=-，y=sin（2x-）取得最小值-；

当x=时，即2x-=，y=sin（2x-）取得最大值1…（12分）

解析

解：（I）f（x）=sinx⋅cosx-cos2x+=-cos2x=sin（2x-），

令X=2x-，则x=（X-）．填表：

…（8分）

（Ⅱ）因为x∈[0，]，

所以2x∈[0，π]，2x-∈[-，]…（10分）

所以当x=0时，即2x-=-，y=sin（2x-）取得最小值-；

当x=时，即2x-=，y=sin（2x-）取得最大值1…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知是关于x的方程的两个实根,且,求的值．

正确答案

解:∵ ∴ ,

而 ,∴ ,

得 ,

∴ 有 ,解得 ,

∴ ,

有 ,

∴ .

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