三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=______．

正确答案

解析

解：由条件2sinθ+3cosθ=0，得，

从而．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知：cosα=，π＜α≤2π，则tan为______．

正确答案

-

解析

解：∵cosα=，π＜α≤2π，

∴sinα=-=-．

∴=，

∴=tanα=，

解得=3或-．

∵π＜α≤2π，

∴，

∴＜0，

∴=-．

故答案为：-．

1

题型：简答题

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简答题

（2014秋•岳阳校级月考）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）

（1）求f（）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

正确答案

解：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）

=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+1-cos2x

=1+sin（2x-），

则f（）=1+sin（-）=1；

（2）函数f（x）的最小正周期T==π，

令2k＜2x-＜2k，解得，k＜x＜k，k∈Z，

则单调递增区间为：（k，k）k∈Z．

解析

解：（1）函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）

=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+1-cos2x

=1+sin（2x-），

则f（）=1+sin（-）=1；

（2）函数f（x）的最小正周期T==π，

令2k＜2x-＜2k，解得，k＜x＜k，k∈Z，

则单调递增区间为：（k，k）k∈Z．

1

题型：填空题

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填空题

若sinα=-且α∈（π，），则tan2α=______．

正确答案

-4

解析

解：∵sinα=-且α∈（π，），∴cosα=-，∴tanα=，

则tan2α==-4，

故答案为：-4．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•通州区校级期末）已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和单调增区间；

（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．

正确答案

解：由三角函数公式化简可得，

（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，

由可得，

∴函数f（x）的单调增区间为；

（Ⅱ）∵，∴，

∴当时，，

当时，．

解析

解：由三角函数公式化简可得，

（Ⅰ）由周期公式可得函数f（x）的最小正周期，

由可得，

∴函数f（x）的单调增区间为；

（Ⅱ）∵，∴，

∴当时，，

当时，．

1

题型：单选题

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单选题

设α是第二象限角，p（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tan2α=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

A

解析

解：由三角函数的定义可得cosα=，

又∵cosα=x，∴=x，

又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=-3

∴cosα=-，sinα==，

∴tanα==-

∴tan2α==

故选：A

1

题型：单选题

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单选题

正四棱锥相邻侧面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，则2cosα+cos2β的值是（　　）

A-1

B1

C

D2

正确答案

A

解析

解：设正四棱锥S-ABCD的底面边长为a，侧棱长为b，如图

过S做SE⊥AB与E，SO⊥底面ABCD与O，连EO，

则∠SEO即为侧面与底面所成二面角的平面角，即为β，

在三角形SEO中，SE2=，OE=，

∴cos2β=，cos2β=2cos2β-1=，

过B做BH⊥SA与H，连DH，由△SAB≌△SAD，所以DH⊥SA，

则角BHD即为两个侧面所成的二面角的平面角，即α，

在△BDH中，BD=a，BH=DH=，

由余弦定理可得cosα==，

∴2cosα+cos2β=2（cosα+cos2β ）-1=0-1=-1，

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

函数的最小正周期是______．

正确答案

2π

解析

解；∵f（x）=-=-cosx，

∴f（x）的最小正周期是2π．

故答案为：2π．

1

题型：单选题

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单选题

已知2sinα+cosα=，则tan2α=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

A

解析

解：∵2sinα+cosα=，

又sin2α+cos2α=1，

∴，或，

∴tanα==，或tanα=-3，

∴当tanα=时，tan2α===，

当tanα=-3时，tan2α===

故选：A

1

题型：填空题

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填空题

若，则行列式=______．

正确答案

解析

解：则行列式=cosθ2-sinθ2=1-2sin2θ=1-2×=，

故答案为．

1

题型：填空题

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填空题

已知cos2x=-，则tan2x•sin2x=______．

正确答案

解析

解：∵cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1

∴sin2x===

cos2x==

∴tan2x•sin2x===

故答案为

1

题型：简答题

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简答题

化简：．

正确答案

解：==cos10°．

解析

解：==cos10°．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=-sinx+3cosx，若x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）=0，则|x1+x2|的最小值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：∵=2（-sinx+cosx）=2 sin（-x）=-2sin（x-），x1•x2＞0，且f（x1）+f（x2）=0，

∴x1+x2 等于函数的零点的2倍，∴|x1+x2|的最小值等于函数f（x）的绝对值最小的零点的2倍．

∴令-2sin（x-）=0 可得sin（x-）=0，x-=kπ，k∈z．故函数f（x）的绝对值最小的零点为，故|x1+x2|的最小值为，

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

函数．

（Ⅰ）在△ABC中，，求f（A）的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及函数的单调递增区间．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=（cosx-sinx）+2sinx=cosx+sinx，

∵在△ABC中，cosA=-，

∴sinA==，

∴f（A）=cosA+sinA=；

（Ⅱ）∵f（x）=（cosx+sinx）

=sin（x+），

∴函数f（x）的最小正周期T=2π；

由-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间为[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=（cosx-sinx）+2sinx=cosx+sinx，

∵在△ABC中，cosA=-，

∴sinA==，

∴f（A）=cosA+sinA=；

（Ⅱ）∵f（x）=（cosx+sinx）

=sin（x+），

∴函数f（x）的最小正周期T=2π；

由-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z）得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间为[-+2kπ，+2kπ]（k∈Z）．

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题型：填空题

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填空题

若，则tan2α=______．

正确答案

解析

解：由，

得，

即，∴．

．

故答案为．

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