三角函数_章节学习

1

题型：简答题

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简答题

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求sin2α的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，f（x）=-sincos-

=（1+cosx）-sinx-

=cos（x+）．

∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[-，]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，

∴cos（α+）=，

∴sin2α=-cos（+2α）=-cos2（α+）

=1-2

=1-

=．

解析

解：（Ⅰ）由已知，f（x）=-sincos-

=（1+cosx）-sinx-

=cos（x+）．

∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[-，]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，

∴cos（α+）=，

∴sin2α=-cos（+2α）=-cos2（α+）

=1-2

=1-

=．

1

题型：单选题

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单选题

的值是（　　）

A-

B

C-

D

正确答案

B

解析

解：原式===．

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx），x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称中心；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最小值和最大值．

正确答案

（本小题满分12分）

解：（I）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，

因此，函数f（x）图象的对称中心为（），k∈Z．

（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x-）在区间上为增函数，在区间上为减函数，

又f（x）=-1，f（）=，

f（）=sin（-）-1=-2

故函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为-2．

解析

（本小题满分12分）

解：（I）函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，

因此，函数f（x）图象的对称中心为（），k∈Z．

（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x-）在区间上为增函数，在区间上为减函数，

又f（x）=-1，f（）=，

f（）=sin（-）-1=-2

故函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为-2．

1

题型：填空题

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填空题

设向量=（sinθ，1）与=（1，2sinθ）平行，则cos2θ=______．

正确答案

0

解析

解：∵向量=（sinθ，1）与=（1，2sinθ）平行，

∴2sin2θ=1，即sin2θ=，

则cos2θ=1-2sin2θ=0．

故答案为：0

1

题型：单选题

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单选题

已知tanx=-，则tan2x=（　　）

A

B-

C-

D

正确答案

C

解析

解：∵tanx=-，

∴tan2x===-，

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；

（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）∵向量，，

∴=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）

∵函数图象关于直线对称，∴2sin（πω+）=±2

∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）

∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=

∴f（x）=2sin（x+）；

（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x-）的图象，

令2x-=t，∵x∈，∴t∈[-，]

∴关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在上有且只有一个实数解，

即y=2sint，t∈[-，]的图象与y=-k有且只有一个交点，

∴-＜k≤或k=-2．

解析

解：（Ⅰ）∵向量，，

∴=（cos2ωx-sin2ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）

∵函数图象关于直线对称，∴2sin（πω+）=±2

∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）

∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=

∴f（x）=2sin（x+）；

（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，再将所得图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）=2sin（2x-）的图象，

令2x-=t，∵x∈，∴t∈[-，]

∴关于x的方程h（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即2sint+k=0在上有且只有一个实数解，

即y=2sint，t∈[-，]的图象与y=-k有且只有一个交点，

∴-＜k≤或k=-2．

1

题型：简答题

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简答题

已知cos（-a）=，求sin（-a）+sin2（+a）的值．

正确答案

解：由于cos（-a）=，

则sin（+a）=cos（-a）=，

则sin（-a）=sin（+a）=，

sin2（+a）=sin2（-a）=1-cos2（-a）=1-=，

故sin（-a）+sin2（+a）

==．

解析

解：由于cos（-a）=，

则sin（+a）=cos（-a）=，

则sin（-a）=sin（+a）=，

sin2（+a）=sin2（-a）=1-cos2（-a）=1-=，

故sin（-a）+sin2（+a）

==．

1

题型：填空题

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填空题

若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为______．

正确答案

-8

解析

解：令tanx=t，∵，

∴

故填：-8．

1

题型：填空题

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填空题

cos215°-sin215°的值是______．

正确答案

解析

解：原式cos215°-sin215°=cos30°=．

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=3cos2（x+）-2，若对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1-x2|的最小值为______．

正确答案

4

解析

解：f（x）=3cos2（x+）-2=cos（x+）-，

∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），

∴f（x1）是函数f（x）的最小值，f（x2）是函数f（x）的最大值．

∴|x1-x2|的最小值为函数的半个周期，

∵T==8，

∴|x1-x2|的最小值为4．

故答案为：4．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=的最小正周期为（　　）

A2π

Bπ

C

D

正确答案

C

解析

解：∵y===tan（2x+），

∴T=．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

若f（cosx）=tan2x，则f（sin15°）等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵f（cosx）=tan2x，

∴f（sin15°）=f（cos75°）=tan150°=-，

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=3-2sin22x的最小正周期为（　　）

A

Bπ

C2π

D4π

正确答案

A

解析

解：由题意可得：f（x）=2+cos4x，

所以周期为T==．

故选：A．

1

题型：单选题

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单选题

已知α是第二象限角，且的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由sin（π+α）=-sinα=-，得到sinα=，又α是第二象限角，

所以cosα=-=-，tanα=-，

则tan2α===-．

故选C

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题型：填空题

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填空题

若f（sinx）=cos2x，则f（cos15°）的值为______．

正确答案

-

解析

解：∵f（sinx）=cos2x，

∴f（cos15°）=f（sin75°）=cos150°=-cos30°=-，

故答案为：-

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正确答案

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