三角函数_章节学习

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题型：单选题

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单选题

=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：=sin（）=-sin=

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

sin（-420°）cos210°的值等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由诱导公式以可得，sin（-420°）cos210°=sin60°cos30°==．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

点P（tan549°，cos549°）位于（　　）

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D

解析

解：tan549°=tan189°＞0，cos549°=cos189°＜0，

所以P的横坐标为正、纵坐标为负数，所以P在第四象限．

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（　　）

Af（x）在上递增

Bf（x）的最大值为2

Cf（x）的图象关于点对称

Df（x）的图象关于直线对称

正确答案

D

解析

解：根据二倍角正弦公式，得f（x）=2sinxcosx=sin2x，

对于A，当x∈时，2x∈，可得此时f（x）=sin2x是减函数，故A不正确；

对于B，f（x）=sin2x的最大值是1，故B错；

对于C，因为f（）=sin=1为函数的最大值，故直线x=是函数图象的一条对称轴，

但f（x）的图象不关于点对称，故C不正确；

对于D，因为f（）=sin（）=-1为函数的最小值，

故是函数图象的一条对称轴，故D正确．

故选D

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）求的值；

（2）求出该函数的最小正周期并求出该函数取最大值的×的取值集合．

正确答案

解：（1）∵f（x）=cosxcos（-x），

∴f（）=coscos=；

（2）∵f（x）=cosxcos（-x）=sin2x，

∴其最小正周期T=π，

当2x=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值，

∴该函数取最大值时x的取值集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}．

解析

解：（1）∵f（x）=cosxcos（-x），

∴f（）=coscos=；

（2）∵f（x）=cosxcos（-x）=sin2x，

∴其最小正周期T=π，

当2x=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值，

∴该函数取最大值时x的取值集合为：{x|x=kπ+，k∈Z}．

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题型：填空题

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填空题

（2016•凉山州模拟）设向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，则cos2x=______．

正确答案

解析

解：∵向量=（3cosx，1），=（5sinx+1，cosx），且∥，∴3cos2x-5sinx-1=0，

即 3sin2x+5sinx+2=0，求得sinx=-2（舍去），或 sinx=，

则cos2x=1-2sin2x=1-2×=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinωx+cosωx+c（ω＞0，x∈R，c是实数常数）的图象上的一个最高点（，1），与该最高点最近的一个最低点是（，-3）．

（1）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；

（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且•=-ac，角A的取值范围是区间M，当x∈M时，试求函数f（x）的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx+c

=2（sinωx+cosωx）+c

=2sin（ωx+）+c，

∴f（x）max=2+c=1，f（x）min=-2+c=-3，

∴c=-1；

又=-=，

∴T==π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）依题意，•=||•||cos＜，＞=ca•cos（π-B）=-ac，

∴cosB=，又0＜B＜π，

∴B=．

∴A∈（0，），即M=（0，）；

∴当x∈（0，）时，2x+∈（，），

∴sin（2x+）∈（-1，1]，

∴f（x）=2sin（2x+）-1∈（-3，1]．

即函数f（x）的取值范围为（-3，1]．

解析

解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx+c

=2（sinωx+cosωx）+c

=2sin（ωx+）+c，

∴f（x）max=2+c=1，f（x）min=-2+c=-3，

∴c=-1；

又=-=，

∴T==π，

∴ω=2，

∴f（x）=2sin（2x+）-1．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；

（2）依题意，•=||•||cos＜，＞=ca•cos（π-B）=-ac，

∴cosB=，又0＜B＜π，

∴B=．

∴A∈（0，），即M=（0，）；

∴当x∈（0，）时，2x+∈（，），

∴sin（2x+）∈（-1，1]，

∴f（x）=2sin（2x+）-1∈（-3，1]．

即函数f（x）的取值范围为（-3，1]．

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题型：单选题

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单选题

若∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，则下列错误的是（　　）

AsinA=-sin（B十C）

BcosA=-cos（B+C）

CtanA=-tan（B+C）

Dcos（A+B）+cosC=0

正确答案

A

解析

解：利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），tanA=-tan（B+C），cosC+cos（B+A）=0，

只有A错误，

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

求值sin2840°+cos2540°+tan225°-cos2（-330°）+sin（-210°）．

正确答案

解：sin2840°+cos2540°+tan225°-cos2（-330°）+sin（-210°）

=sin2120°+cos2180°+tan45°-cos2（30°）+sin（150°）

=

=．

故答案为：．

解析

解：sin2840°+cos2540°+tan225°-cos2（-330°）+sin（-210°）

=sin2120°+cos2180°+tan45°-cos2（30°）+sin（150°）

=

=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

计算：（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）=______．

正确答案

-

解析

解：∵（cos75°+sin75°）（cos75°-sin75°）

=cos275°-sin275°

=cos150°

=-．

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

已知=______．

正确答案

解析

解：因为sin（α-）=（sinα-cosα）=；

∴sinα-cosα=⇒sinα=cosα+≥．

∵cos2α=1-2sin2α=⇒sinα=．（-舍）

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知α为第四象限角，，则tan2α=______．

正确答案

解析

解：∵α为第四象限角，，∴sin α=-，∴tanα=-，

∴tan2α==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数=（cosx，），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=•-

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（Ⅱ）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•-=sinxcosx+cos2x-=sin（2x+）-．

显然，函数的最小正周期为=π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）当x∈（0，）时，2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（-1，1]，∴f（x）∈（-，]．

解析

解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•-=sinxcosx+cos2x-=sin（2x+）-．

显然，函数的最小正周期为=π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）当x∈（0，）时，2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（-1，1]，∴f（x）∈（-，]．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m（x∈R）

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若x∈[0，]，是否存在实数m，使函数f（x）的值域恰为[，]？若存在，请求出m的取值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）由题意可得：

f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m

=1+cos2x+sin2x+m

=2sin（2x+）+m+1，

所以函数f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，∵，

∴…（9分）

∴…（10分）

又∵，解得 …（13分）

∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为…（14分）

解析

解：（I）由题意可得：

f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m

=1+cos2x+sin2x+m

=2sin（2x+）+m+1，

所以函数f（x）的最小正周期T==π．

（Ⅱ）假设存在实数m符合题意，∵，

∴…（9分）

∴…（10分）

又∵，解得 …（13分）

∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为…（14分）

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题型：填空题

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填空题

已知x∈[，π]，且sin（x-）=，则cosx=______，sinx=______，cos2x=______．

正确答案

-

-．

解析

解：∵x∈[，π]，且sin（x-）=-cosx=，

∴可得cosx=-，

sinx===，

cos2x=2cos2x-1=2×-1=-．

故答案为：-，，-．

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