三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1，

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）求f（x）在上的最值并求出相应的x值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1

=sin2x-（1+cos2x）+1

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）…（2分）

∴由2kπ-≤2x-≤2kπ+得：

kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]k∈Z．…（6分）

（2）∵x∈[，]，

∴0≤2x-≤，

∴当2x-=，即x=时，f（x）取得最小值-1；

当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值；

∴x=时，f（x）min=-1，即x=时，f（x）max=…（10分）

解析

解：（1）∵f（x）=2（sinx-cosx）•cosx+1

=sin2x-（1+cos2x）+1

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）…（2分）

∴由2kπ-≤2x-≤2kπ+得：

kπ-≤x≤kπ+，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]k∈Z．…（6分）

（2）∵x∈[，]，

∴0≤2x-≤，

∴当2x-=，即x=时，f（x）取得最小值-1；

当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值；

∴x=时，f（x）min=-1，即x=时，f（x）max=…（10分）

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题型：简答题

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简答题

设f（α）=（π＜α＜2π）．

（1）化简f（α）

（2）求f（）

正确答案

解：（1）因为π＜α＜2π，所以，

所以f（α）===-=cosα．

（2）f（）=cos=-cos=-=-=．

解析

解：（1）因为π＜α＜2π，所以，

所以f（α）===-=cosα．

（2）f（）=cos=-cos=-=-=．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x2+2xsinα-1，x∈[-]，a∈[0，2π]

（1）当α=时，求f（x）的最大值和最小值，并求使函数取得最值的x的值；

（2）求α的取值范围，使得f（x）在区间[]上是单调函数；

（3）当α∈[0，]时，求f（x）的最小值．

正确答案

解（1）α=时，f（x）=x2+x-1=（x+）2-

由x∈[-]，a∈[0，2π]，

当x=-时，f（x）有最小值为；

当x=时，f（x）有最大值为；

（2）f（x）=x2+2xsinα-1的图象的对称轴为x=-sinα，

由于f（x）在区间[]上是单调函数；

当是单调增函数时

所以-sinα≤-，即sinα≥，又∵α∈[0，2π）

所求α的取值范围是[，]．

当是得到减函数时，-sinα≥，即sinα≤-，又∵α∈[0，2π），

∴所求α的取值范围是[]；

（3）当α∈[0，]时，sinα∈[0，1]，-sinα∈[-1，0]，

当对称轴x=-sinα＜-时，f（x）的最小值为f（-）=．

当对称轴x=-sinα≥-时，f（x）的最小值为f（sinα）=3sin2α-1．

解析

解（1）α=时，f（x）=x2+x-1=（x+）2-

由x∈[-]，a∈[0，2π]，

当x=-时，f（x）有最小值为；

当x=时，f（x）有最大值为；

（2）f（x）=x2+2xsinα-1的图象的对称轴为x=-sinα，

由于f（x）在区间[]上是单调函数；

当是单调增函数时

所以-sinα≤-，即sinα≥，又∵α∈[0，2π）

所求α的取值范围是[，]．

当是得到减函数时，-sinα≥，即sinα≤-，又∵α∈[0，2π），

∴所求α的取值范围是[]；

（3）当α∈[0，]时，sinα∈[0，1]，-sinα∈[-1，0]，

当对称轴x=-sinα＜-时，f（x）的最小值为f（-）=．

当对称轴x=-sinα≥-时，f（x）的最小值为f（sinα）=3sin2α-1．

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题型：单选题

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单选题

若点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，则sin2α+2cos2α的值是（　　）

A-2

B-

C-

D

正确答案

A

解析

解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-2x上，

∴sinα=-2cosα，∴tanα==-2，

∴sin2α+2cos2α=

==-2

故选：A

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题型：单选题

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单选题

f（x）=coscos（π+x）是（　　）

A最小正周期为π的奇函数

B最小正周期为π的偶函数

C最小正周期为的奇函数

D最小正周期为的偶函数

正确答案

A

解析

解：由于f（x）=coscos（π+x）=-sinx•（-cosx）=sin2x，

可得函数为奇函数，且它的周期为=π，

故选：A．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，当a2＞b2+c2且时，求sin2A的值．

正确答案

解：∵===sinA=，

∴sinA=…（6分）

由a2＞b2+c2得：cosA=＜0，

∴cosA=-…（10分）

∴sinA=2sinAcosA=2××（-）=-…（12分）

解析

解：∵===sinA=，

∴sinA=…（6分）

由a2＞b2+c2得：cosA=＜0，

∴cosA=-…（10分）

∴sinA=2sinAcosA=2××（-）=-…（12分）

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题型：单选题

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单选题

已知角a的终边与单位圆x2+y2=1交于P（，y），则sin（+2a）=（　　）

A-

B1

C

D-

正确答案

A

解析

解：∵点P在单位圆上

∴y=±

∴a=或-

sin（+2a）=cos2a=2cos2a-1=2×（）2-1=-

故选：A

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题型：简答题

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简答题

设函数，求f（x）的最大值、最小正周期和单调区间．

正确答案

（本题8分

解：，

所以f（x）的最大值是，最小正周期是π，

单调递增区间是（k∈Z），

单调递减区间是（k∈Z）；

解析

（本题8分

解：，

所以f（x）的最大值是，最小正周期是π，

单调递增区间是（k∈Z），

单调递减区间是（k∈Z）；

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题型：单选题

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单选题

若，，则的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵

∴，

cos（-x）＞0，cos（-x）===．

∵（-x）+（+x）=，

∴cos（+x）=sin（-x）①．

又cos2x=sin（-2x）

=sin2（-x）=2sin（-x）cos（-x）②，

将①②代入原式，∴===

故选B

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题型：填空题

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填空题

函数的最小正周期是______．

正确答案

2π

解析

解：函数==3sincos=

∴函数的周期为：=2π．

故答案为：2π．

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题型：单选题

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单选题

已知，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵，①②

∴①2+②2有：2+2cos（α-β）=1，

∴cos（α-β）=，又cos（α-β）=2-1，

∴==．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

若f（cosx）=cos2x，则f（sin）等于（　　）

A

B-

C-

D

正确答案

C

解析

解：∵sin=sin（-）=cos，

∴由f（cosx）=cos2x，

得f（sin）=f（cos）=cos=-．

故选：C

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题型：单选题

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单选题

已知cosα是方程3x2-x-2=0的根，且α是第三象限角，则=（　　）

A

B-

C-

D

正确答案

C

解析

解：由3x2-x-2=0，得x=1或x=，

∵cosα是方程3x2-x-2=0的根，且α是第三象限角，

∴cos，sinα==，tan．

则==-tan2α=．

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

化简的结果为______．

正确答案

1-sinθ

解析

解：===1-sinθ，

故答案为：1-sinθ．

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）求函数f（x）在x∈[-π，0]上的单调递减区间；

（2）若在x∈上，总存在x0使得f（x0）+m＞0成立，求m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=cos2xcos-sin2xsin+1-cos2x

=-sin（2x+）+1，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∵x∈[-π，0]，

∴函数的单调递减区间为[-π，-]和[-，0]，

（2）∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴f（x）max=，依题意，+m＞0，

解得：m＞-．

∴m的取值范围为（-，+∞）．

解析

解：（1）∵f（x）=cos2xcos-sin2xsin+1-cos2x

=-sin（2x+）+1，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∵x∈[-π，0]，

∴函数的单调递减区间为[-π，-]和[-，0]，

（2）∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴f（x）max=，依题意，+m＞0，

解得：m＞-．

∴m的取值范围为（-，+∞）．

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