三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最大值和最小值；

（3）若f（α）=，求sin 2α的值．

正确答案

解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．

（2）∵x∈R，-1≤sinx≤1

（2）=

∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）

（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=

∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=

∴sin2α=-1=

解析

解：（1）∵=∴函数f（x）=sin x+sin（x+）的最小正周期是2π．

（2）∵x∈R，-1≤sinx≤1

（2）=

∴f（x）的最大值为，最小值为…（8分）

（3）∵f（α）=sinα+sin（α+）=sinα+cosα=

∴（sinα+cosα）2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=

∴sin2α=-1=

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题型：单选题

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单选题

sin15°cos15°=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：sin15°cos15°=×（2sin15°cos15°）

=sin30°=．

故选A

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题型：填空题

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填空题

已知角α，β∈（-，），且α，β，依次成等差数列，若cosβ=，则sinα•sinβ的值为______．

正确答案

解析

解：∵α，β，依次成等差数列，∴α+=2β，

∵α∈（-，），∴β∈（0，）．

由cosβ=，sinβ===．

α=2β-，∴sinα=sin（2β-）=-cos2β=1-2cos2β=1-2×（）2=-．

∴sinα•sinβ的值为-×=-．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

tan690°的值为（　　）

A-

B

C-

D

正确答案

A

解析

解：tan690°=tan（720°-30°）=-tan30°=-，

故选A．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=sinxcosx+cos2x+a

（I）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；

（II）当x∈时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，解不等式f（x）＞1．

正确答案

解：f（x）=sinxcosx+cos2x+a

=

=sin（2x+）+a+

（I）所以T=．

由，得．

所以f（x）的单调递减区间是[]（k∈Z）．

（II）因为，所以，

所以．

当x时，f（x）max+f（x）min=（1+a+）+（-+a+）=，

解得a=0，所以f（x）=sin（2x+）+．

由f（x）＞1得，

所以

解得．

解析

解：f（x）=sinxcosx+cos2x+a

=

=sin（2x+）+a+

（I）所以T=．

由，得．

所以f（x）的单调递减区间是[]（k∈Z）．

（II）因为，所以，

所以．

当x时，f（x）max+f（x）min=（1+a+）+（-+a+）=，

解得a=0，所以f（x）=sin（2x+）+．

由f（x）＞1得，

所以

解得．

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题型：单选题

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单选题

设向量=（，cosθ），向量=（sinθ，），其∥，则锐角θ为（　　）

A60°

B30°

C75°

D45°

正确答案

D

解析

解：∵∥，∴=cosθ×sinθ

即=sin2θ

∴sin2θ=1，又θ为锐角，

∴θ=

故选 D

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题型：简答题

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简答题

已知点A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，sin2x+2m），x∈R，m∈R，m是常数，且y=．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，]，且f（x）的最小值为6，求m的值．

正确答案

解：（1）∵A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，sin2x+2m），

∴=（cos2x，1），=（1，sin2x+2m），

则y==（cos2x，1）•（1，sin2x+2m）=cos2x+sin2x+2m

=2cos（2x-）+2m，

即y=f（x）=2cos（2x-）+2m；

（2）若x∈[0，]，

则2x∈[0，π]，2x-∈[-，]，

则当2x-=-时，f（x）取得最小值为6，

则2cos（-）+2m=2×+2m=1+2m=6，

则2m=5，解得m=．

解析

解：（1）∵A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，sin2x+2m），

∴=（cos2x，1），=（1，sin2x+2m），

则y==（cos2x，1）•（1，sin2x+2m）=cos2x+sin2x+2m

=2cos（2x-）+2m，

即y=f（x）=2cos（2x-）+2m；

（2）若x∈[0，]，

则2x∈[0，π]，2x-∈[-，]，

则当2x-=-时，f（x）取得最小值为6，

则2cos（-）+2m=2×+2m=1+2m=6，

则2m=5，解得m=．

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题型：单选题

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单选题

函数y=2cos2x的一个单调增区间是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：函数y=2cos2x=1+cos2x，

由-π+2kπ≤2x≤2kπ，解得-π+kπ≤x≤kπ，k为整数，

∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．

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题型：填空题

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填空题

设cos2θ=，则cos4θ+sin4θ的值是______．

正确答案

解析

解：由于cos2θ=，

则cos4θ+sin4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ

=1-sin22θ=1-（1-cos22θ）=1-（1-）=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=______．

正确答案

-

解析

解：由α∈（，π），sinα=，得cosα=-，tanα==

∴tan2α==-

故答案为：-

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题型：简答题

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简答题

已知，且．

①求tan2α的值；

②求cosβ的值；

③求β的大小．

正确答案

解：①由cosα=，可得

∴tanα==4，∴=-

②由，得

又∵，∴

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

③由②得

∵，∴

解析

解：①由cosα=，可得

∴tanα==4，∴=-

②由，得

又∵，∴

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=

③由②得

∵，∴

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题型：简答题

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简答题

已知sin（3π-α）=cos（+β），cos（π-α）=cos（π+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求sinα和cosβ．

正确答案

解：∵0＜α＜π，0＜β＜π，

∴由sin（3π-α）=cos（+β），可得 sinα=sinβ①，

由cos（π-α）=cos（π+β），

可得-cosα=-cosβ，即cosα=cosβ ②．

再把①②平方相加可得2sin2β+cos2β=1，

由此求得cos2β=，∴cosβ=±．

把cosβ=± 代入②可得cosα=±，

∴sinα=．

综上可得，cosβ=±，sinα=．

解析

解：∵0＜α＜π，0＜β＜π，

∴由sin（3π-α）=cos（+β），可得 sinα=sinβ①，

由cos（π-α）=cos（π+β），

可得-cosα=-cosβ，即cosα=cosβ ②．

再把①②平方相加可得2sin2β+cos2β=1，

由此求得cos2β=，∴cosβ=±．

把cosβ=± 代入②可得cosα=±，

∴sinα=．

综上可得，cosβ=±，sinα=．

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题型：填空题

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填空题

已知α为第四象限的角，cosα=，则tan（π+2α）=______．

正确答案

解析

解：∵α为第四象限角，cosα=，∴sin α=-，∴tanα=-2，

∴tan（π+2α）=tan2α===，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及最大值；

（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，若f（）=1-sinB，•=-，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵cosx≠0知x≠kπ+，k∈Z，

即函数f （x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+，k∈Z}．

又∵f（x）==2sin2x-2sinxcosx=2-sin2x=1-（sin2x+cos2x）

=1-sin（2x+），

∴f（x）max=1+，

（II）由f（）=1-sinB，

得1-sin=1-sinB，

∴sinB=，B=

又∵•=-，即-accosB=-，ac=2，

∴S=acsinB．

解析

解：（Ⅰ）∵cosx≠0知x≠kπ+，k∈Z，

即函数f （x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+，k∈Z}．

又∵f（x）==2sin2x-2sinxcosx=2-sin2x=1-（sin2x+cos2x）

=1-sin（2x+），

∴f（x）max=1+，

（II）由f（）=1-sinB，

得1-sin=1-sinB，

∴sinB=，B=

又∵•=-，即-accosB=-，ac=2，

∴S=acsinB．

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题型：单选题

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单选题

cos的值等于（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

D

解析

解：cos=cos（π+）=-cos=-，

故选D．

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