三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

函数y=sinx+cosx+2cos2x+sin2x的值域为______．

正确答案

[，5]

解析

解：y=sinx+cosx+2cos2x+sin2x

=2sin（x+）+1+cos2x+2x

=2sin（x+）-2cos（2x+）+1

=2sin（x+）-2（1-2sin2（x+）+1

=4sin2（x+）+2sin（x+）-1

令t=sin（x+），

∵sin（x+）∈[-1，1]

∴t∈[-1，1]

∴y=4t2+2t-1，t∈[-1，1]

当t=-时，；

当t=1时，ymax=5．

所以函数的值域为[，5]．

故答案为：[，5]．

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题型：单选题

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单选题

（2015秋•富阳市校级月考）若sinx•cosx=，且，则cosx-sinx的值是（　　）

A±

B

C-

D±

正确答案

C

解析

解：∵，

∴cosx＜sinx，

∴cosx-sinx＜0，

令t=cosx-sinx，∵sinx•cosx=，

则t2=（cosx-sinx）2=1-2sinx•cosx=1-2×=，

∴t=-，即cosx-sinx=-．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

（2015春•大竹县校级月考）在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3，则sinC的大小是（　　）

A

B

C或

D-

正确答案

A

解析

解：∵4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3，

∴16sin2A+4cos2B+16sinAcosB=1，①

4sin2B+16cos2A+16sinBcosA=27②

①+②得16+4+16sin（A+B）=28，

∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

故选A

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题型：简答题

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简答题

设向量，记，f′（x）是f（x）的导函数．

（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）=2f′（x），求的值．

正确答案

解：（1）f（x）=sinx+cosx

∴f′（x）=cosx-sinx，

∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）

=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx

=1+sin2x+cos2x

=

∴当（k∈Z）时，

最小正周期为

（2）∵f（x）=2f′（x）⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx

∴cosx=3sinx

∴．

解析

解：（1）f（x）=sinx+cosx

∴f′（x）=cosx-sinx，

∴F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）

=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx

=1+sin2x+cos2x

=

∴当（k∈Z）时，

最小正周期为

（2）∵f（x）=2f′（x）⇒sinx+cosx=2cosx-2sinx

∴cosx=3sinx

∴．

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题型：填空题

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填空题

已知在△ABC中，2sinA+3cosB=4，3sinB+2cosA=，则C=______．

正确答案

或

解析

解：∵在△ABC中2sinA+3cosB=4，①，3sinB+2cosA=，②，

①2+②2可得4sin2A+4cos2A+9cos2B+9sin2B+12（sinAcosB+cosAsinB）=19，

∴13+12（sinAcosB+cosAsinB）=19，即13+12sin（A+B）=19，

解得sin（A+B）=，∴sinC=sin（A+B）=，

∴C=或c=

故答案为：或

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-1+m，其中x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）若x∈[0，]时，f（x）的最小值为4，求m的值．

正确答案

解：（1）f（x）=cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m，

∴T=．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[0，]时，2x+∈[，]，six（2x+）∈[，1]，

∴×2+m=4，

解得m=5．

解析

解：（1）f（x）=cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m，

∴T=．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）由x∈[0，]时，2x+∈[，]，six（2x+）∈[，1]，

∴×2+m=4，

解得m=5．

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题型：填空题

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填空题

若，则α所在象限是 ______．

正确答案

第三象限

解析

解：依题意可知=-（sin2α+cos2α）

∴=-sinα，=-cosα，

∴sinα＜0，cosα＜0

∴α所在象限是第三象限，

故答案为：第三象限．

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题型：简答题

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简答题

设△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，并且．

（1）求角A的值；

（2）若△ABC的面积为，求边a的最小值．

正确答案

解：（1）由可得

cos2A=cos2B-（sincosB+cossinB）•（coscosB+sinsinB）

=cos2B-（cos2B-sin2B）=cos2B+sin2B=，

可得cosA=±，再由△ABC是锐角三角形可得A=．

（2）由△ABC的面积为，可得 =，解得 bc=24．

再由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-24．

再由基本不等式可得 a2=b2+c2-24≥2bc-24=48-24=24，当且仅当b=c时取等号，

故边a的最小值为2．

解析

解：（1）由可得

cos2A=cos2B-（sincosB+cossinB）•（coscosB+sinsinB）

=cos2B-（cos2B-sin2B）=cos2B+sin2B=，

可得cosA=±，再由△ABC是锐角三角形可得A=．

（2）由△ABC的面积为，可得 =，解得 bc=24．

再由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc•cosA=b2+c2-24．

再由基本不等式可得 a2=b2+c2-24≥2bc-24=48-24=24，当且仅当b=c时取等号，

故边a的最小值为2．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=-2sin2xsinxcosx+5

（1）将函数化为f（x）=Asin（ωx+φ）+k（其中A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）的形式，并指出函数f（x）的最小正周期；

（2）当x∈[，π]时，求f（x）的范围．

正确答案

解：（1）由于f（x）=-2sin2xsinxcosx+5

=

则函数f（x）的最小正周期

（2）由（1）知，

∵x∈[，π]，∴

∴，故f（x）∈[2，5]

∴f（x）的范围为[2，5]．

解析

解：（1）由于f（x）=-2sin2xsinxcosx+5

=

则函数f（x）的最小正周期

（2）由（1）知，

∵x∈[，π]，∴

∴，故f（x）∈[2，5]

∴f（x）的范围为[2，5]．

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题型：单选题

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单选题

下列函数中，既是奇函数又是周期为π的函数是（　　）

Ay=sin2x

By=sinxcosx

C

Dy=cos2x

正确答案

B

解析

解：由于函数y=sin2x= 是偶函数，故排除A．

由于函数y=sinxcosx=sin2x，是奇函数，又是周期为π的函数，故满足条件．

由于函数，，

由于函数y=cos2x是偶函数，故排除D．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=4cosxsin（x-）+，x∈R

（Ⅰ）当x∈[0，]，时，求函数 f （x）的值域；

（Ⅱ）已知函数 y=f （x）的图象与直线 y=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离．

正确答案

解：（Ⅰ）化简可得f（x）=4cosxsin（x-）+

=4cosx（sinx-cosx）+

=2sinxcosx-2cos2x+

=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴f（x）=2sin（2x-）∈[-，2]，

∴函数 f （x）的值域为[-，2]；

（Ⅱ）由题意可得2sin（2x-）=1，

∴sin（2x-）=，

∴2x-=2kπ+或2x-=2kπ+，

解得x=kπ+或x=kπ+，k∈Z

∴相邻两个交点间的最短距离为．

解析

解：（Ⅰ）化简可得f（x）=4cosxsin（x-）+

=4cosx（sinx-cosx）+

=2sinxcosx-2cos2x+

=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

∵x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-，1]，

∴f（x）=2sin（2x-）∈[-，2]，

∴函数 f （x）的值域为[-，2]；

（Ⅱ）由题意可得2sin（2x-）=1，

∴sin（2x-）=，

∴2x-=2kπ+或2x-=2kπ+，

解得x=kπ+或x=kπ+，k∈Z

∴相邻两个交点间的最短距离为．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O为坐标原点，求△OPQ的外接圆的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）=，

∴f（x）=2sin（x+）

∴．

∴函数f（x）的最小正周期为8．

由（k∈Z），

得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间是[8k-3，8k+1]（k∈Z）．

（Ⅱ）∵，

，

∴，

∴

从而，

∴，

设△OPQ的外接圆的半径为R，

由，

∴△OPQ的外接圆的面积．

解析

解：（Ⅰ）=，

∴f（x）=2sin（x+）

∴．

∴函数f（x）的最小正周期为8．

由（k∈Z），

得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），

∴函数f（x）的单调递增区间是[8k-3，8k+1]（k∈Z）．

（Ⅱ）∵，

，

∴，

∴

从而，

∴，

设△OPQ的外接圆的半径为R，

由，

∴△OPQ的外接圆的面积．

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题型：简答题

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简答题

设函数．

（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，b+c=2，求a的最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵

=，…（2分）

令 2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，

∴f（x）的单调递增区间：．…（4分）

（Ⅱ）由题意，，即．

化简得，…（6分）∵A∈（0，π），∴，

故只有，∴．

在△ABC中，由余弦定理，，…（8分）

由b+c=2知，即a2≥1，当b=c=1时，a取最小值1．…（10分）

解析

解：（Ⅰ）∵

=，…（2分）

令 2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，

∴f（x）的单调递增区间：．…（4分）

（Ⅱ）由题意，，即．

化简得，…（6分）∵A∈（0，π），∴，

故只有，∴．

在△ABC中，由余弦定理，，…（8分）

由b+c=2知，即a2≥1，当b=c=1时，a取最小值1．…（10分）

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题型：单选题

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单选题

若锐角α使得sinα=tanα-cosα成立，则α的范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵锐角α使得sinα=tanα-cosα成立，∴sinα+cosα=tanα，

∴sin（α+）=tanα，由0＜α＜，可得＜α+＜，

≥sin（α+）＞×，

∴1＜tanα≤＜，

故α的范围是，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知AB=20米，∠PAQ=，设∠PAB=θ，记f（θ）=，当f（θ）越大，则污水净化效果越好．

（1）求f（θ）关于的函数解析式，并求定义域；

（2）求f（θ）最大值，并指出等号成立条件？

正确答案

解：（1）∵，，

∴＜θ＜，

如图，，，

∴，θ∈[，]

（2），

∵θ∈[，]

∴，

∴当时，即时，f（θ）max=3，

答：当时，f（θ）的最大值为3．

解析

解：（1）∵，，

∴＜θ＜，

如图，，，

∴，θ∈[，]

（2），

∵θ∈[，]

∴，

∴当时，即时，f（θ）max=3，

答：当时，f（θ）的最大值为3．

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