三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

求值：（1）sin105°；（2）cos15°．

正确答案

解：：（1）sin105°=sin（90°+15°）=cos15°====；

（2）cos15°====．

解析

解：：（1）sin105°=sin（90°+15°）=cos15°====；

（2）cos15°====．

1

题型：填空题

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填空题

已知，且α是第二象限角，则tan（α-7π）=______．

正确答案

解析

解：，

∴sinα=，

∵α是第二象限角，

∴cos2α=1-sin2α=，cosα=-，

tan（α-7π）=tanα==，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

sin（-α）=______．

正确答案

-cosα

解析

解：sin（-α）=sin（2×502π+-α）=sin（（-α）=-cosα

故答案为：-cosα

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=+sin（2x+）．

（1）求f（）的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（1）由于函数f（x）=+sin（2x+）=+sin（2x+）=+sin（2x+）

=-sinxcosx+sin（2x+）=-sin2x+sin（2x+），

∴f（）=-sin+sin=-+1=．

（2）由于f（x）=-sin2x+sin（2x+）=-sin2x+sin2xcos+cos2xsin=cos2x，

令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ，

再根据当x=kπ-时，tan（π-x）=-tanx无意义，当x=kπ时，tan（π-x）=-tanx=0，函数无意义，

故f（x）的增区间为（kπ-，kπ），k∈z．

解析

解：（1）由于函数f（x）=+sin（2x+）=+sin（2x+）=+sin（2x+）

=-sinxcosx+sin（2x+）=-sin2x+sin（2x+），

∴f（）=-sin+sin=-+1=．

（2）由于f（x）=-sin2x+sin（2x+）=-sin2x+sin2xcos+cos2xsin=cos2x，

令2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ，

再根据当x=kπ-时，tan（π-x）=-tanx无意义，当x=kπ时，tan（π-x）=-tanx=0，函数无意义，

故f（x）的增区间为（kπ-，kπ），k∈z．

1

题型：单选题

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单选题

将函数f（x）=2sin（π-x）sin（+x）-sin（-2x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象的一条对称轴为x=，则φ的最小值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：f（x）=2sin（π-x）sin（+x）-sin（-2x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

将f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位得到y=2sin[2（x-φ）+]=2sin（2x-2φ+），

若所得函数图象的一条对称轴为x=，

则当x=时，2×-2φ+=+kπ，

即φ=-，k∈Z，

∵φ＞0，

∴当k=0时，φ=，

故选：B

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（1）f（x）=

=（cos2-sin2）+sinx=cosx+sinx=2sin（x+）．

∴f（x）的最小正周期T=2π．

（2）g（x）=2sin（x-+）=2sin（x+）．

令-+2kπ≤x+≤+2kπ．解得+2kπ≤x≤+2kπ，

∴g（x）的单调递增区间是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．

解析

解：（1）f（x）=

=（cos2-sin2）+sinx=cosx+sinx=2sin（x+）．

∴f（x）的最小正周期T=2π．

（2）g（x）=2sin（x-+）=2sin（x+）．

令-+2kπ≤x+≤+2kπ．解得+2kπ≤x≤+2kπ，

∴g（x）的单调递增区间是[+2kπ，+2kπ]，k∈Z．

1

题型：单选题

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单选题

设M={平面内的点（a，b）}，N={f（x）|f（x）=acos2x+bsin2x}，给出M到N的映射f：（a，b）→f（x）=acos2x+bsin2x，若点的像f（x）的图象可以由曲线y=2sin2x按向量平移得到，则向量的坐标为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：f（x）=cos2x+sin2x=2sin（2x+），

把曲线y=2sin2x的图象上所有的点向左平移个单位，可得y=2sin2（x+）=2sin（2x+）的图象，

故向量的坐标为，

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

已知=（cosθ，2），=（，sinθ）．

（1）当∥，且θ∈（，）时，求cosθ-sinθ的值；

（2）若⊥，求+的值．

正确答案

解：（1）∵，∴．

∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=，

∵，∴sinθ＞cosθ，

∴．

（2）∵，∴．

∴cosθ=-10sinθ．

∴+===

===．

解析

解：（1）∵，∴．

∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=，

∵，∴sinθ＞cosθ，

∴．

（2）∵，∴．

∴cosθ=-10sinθ．

∴+===

===．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=2cosxsin（x-）+sin2x+sinxcosx．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）设函数g（x）=f（ωx+（ω＞0），g（）=g（）且g（x）在（，）上有最小值没有最大值，求ω的值．

正确答案

解：（1）f（x）=2cosxsin（x-）+sin2x+sinxcosx

=2cosx（sinx-cosx）+sin2x+sinxcosx

=sinxcosx-cos2x+sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx-（cos2x-sin2x）

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-），

∴T==π，

（2）g（x）=f（ωx+）=2sin（ωx+-）=2sin（ωx+），

∵g（）=g（），

∴x==，为函数g（x）的一个对称轴，

∵g（x）在（，）上有最小值没有最大值，

∴g（）=2sin（•ω+）=-1，

∴•ω+=2kπ-，则ω=8k-，

∵g（x）在（，）上有最小值没有最大值，

∴＞-，即T＞，

∴＞，

∴ω＜6

∴对于ω=8k-，k只能取到1，

即ω=．

解析

解：（1）f（x）=2cosxsin（x-）+sin2x+sinxcosx

=2cosx（sinx-cosx）+sin2x+sinxcosx

=sinxcosx-cos2x+sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx-（cos2x-sin2x）

=sin2x-cos2x

=2sin（2x-），

∴T==π，

（2）g（x）=f（ωx+）=2sin（ωx+-）=2sin（ωx+），

∵g（）=g（），

∴x==，为函数g（x）的一个对称轴，

∵g（x）在（，）上有最小值没有最大值，

∴g（）=2sin（•ω+）=-1，

∴•ω+=2kπ-，则ω=8k-，

∵g（x）在（，）上有最小值没有最大值，

∴＞-，即T＞，

∴＞，

∴ω＜6

∴对于ω=8k-，k只能取到1，

即ω=．

1

题型：简答题

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简答题

已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量=（a，-2b-c），=（cosA，cosC），且∥．

（I）求角A的大小；

（II）求的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

正确答案

解：（I）∵∥，

∴acosC+（2b+c）cosA=0．

由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，

∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．

∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，

∴cosA=-，得A=．

（II）∵A=，∴B=，

∴=2•-sin（-C）=+cosC+sinC=+2 sin（C+）．

∵0＜C＜，

∴＜C+＜，

∴当 C+=时，即C=时，取得最大值等于+2．

此时，C=，B=．

解析

解：（I）∵∥，

∴acosC+（2b+c）cosA=0．

由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，

∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．

∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，

∴cosA=-，得A=．

（II）∵A=，∴B=，

∴=2•-sin（-C）=+cosC+sinC=+2 sin（C+）．

∵0＜C＜，

∴＜C+＜，

∴当 C+=时，即C=时，取得最大值等于+2．

此时，C=，B=．

1

题型：简答题

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简答题

已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中．

（1）若，求角α的值；

（2）若，求sinα-cosα．

正确答案

解：（1）．…（1分）

∴=

=

由，得sinα=cosα⇒tanα=1，…（3分）

∵，∴α= …（4分）

（2）由，得 cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，

化简，得sinα+cosα=＞0，

两边平方得，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=．

∴2sinαcosα=-…（6分）

∵，∴sinα＞0且cosα＜0

∴sinα-cosα====（舍负） …（8分）

解析

解：（1）．…（1分）

∴=

=

由，得sinα=cosα⇒tanα=1，…（3分）

∵，∴α= …（4分）

（2）由，得 cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，

化简，得sinα+cosα=＞0，

两边平方得，（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=．

∴2sinαcosα=-…（6分）

∵，∴sinα＞0且cosα＜0

∴sinα-cosα====（舍负） …（8分）

1

题型：简答题

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简答题

已知sin（π+α）=2cos（π-α），计算：

（1）

（2）sin2α+sinαcosα-2cos2α

正确答案

解：∵sin（π+α）=2cos（π-α），∴-sinα=-2cosα，∴tanα=2．

（1）原式===．

（2）原式===．

解析

解：∵sin（π+α）=2cos（π-α），∴-sinα=-2cosα，∴tanα=2．

（1）原式===．

（2）原式===．

1

题型：填空题

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填空题

sin+cos+tan（-）=______．

正确答案

0

解析

解：sin+cos+tan（-）=sin+cos-tan=+-1=0

故答案为0．

1

题型：单选题

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单选题

sin600°+tan240°的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：sin600°+tan240°

=sin（720°-120°）+tan（180°+60°）

=-sin120°+tan60°

=-+

=．

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

已知f（x）=sin（2x+）-2cos2x+．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）-2cos2x+

=-cos2x+

=

=sin（2x+）+，

由-，k∈Z，

得函数f（x）的单调增区间为[-，]，k∈Z．

（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+）=，a=1，b+c=2，

又0＜A＜π，

∴＜2A+＜

从而2A+=，∴A=，

在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=，

∴1=b2+c2-2bccosA，即1=4-3bc．

故bc=1

从而S△ABC=bcsinA=．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）-2cos2x+

=-cos2x+

=

=sin（2x+）+，

由-，k∈Z，

得函数f（x）的单调增区间为[-，]，k∈Z．

（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+）=，a=1，b+c=2，

又0＜A＜π，

∴＜2A+＜

从而2A+=，∴A=，

在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=，

∴1=b2+c2-2bccosA，即1=4-3bc．

故bc=1

从而S△ABC=bcsinA=．

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