三角函数_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

设函数f（θ）=sinθ+cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．

（I）若点P的坐标为(，)，求f（θ）的值；

（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

正确答案

解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：

于是f（θ）=sinθ+cosθ=×+=2

（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示

其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）

于是0≤θ≤

∴f（θ）=sinθ+cosθ=2sin(θ+)

且≤θ+≤

故当θ+=，即θ=时，f（θ）取得最大值2

当θ+=，即θ=0时，f（θ）取得最小值1

1

题型：填空题

|

填空题

已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx）（ω＞0），记函数f（x）=•，且f（x）的最小正周期是π，则ω=______．

正确答案

f（x）=•=sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+=sin（2ωx+）

依题意可知T==π，求得ω=1

故答案为：1

1

题型：填空题

|

填空题

在下列五个命题中，

①函数y=sin（-2x）是偶函数；

②已知cosα=，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{}；

③直线x=是函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴；

④△ABC中，若cosA＞cosB，则A＜B； ⑤函数y=|cos2x+|的周期是；

把你认为正确的命题的序号都填在横线上______．

正确答案

①函数y=sin（-2x）=cos2x，所以函数是偶函数，所以①正确．

②已知cosα=，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是{，-}；所以②错误．

③当x=时，y=sin（2x+）=sin=-1，所以③正确．

④∵A、B是三角形的内角，∴A∈（0，π），B∈（0，π），∵在（0，π）上，y=cosx是减函数，∴△ABC中，若cosA＞cosB，则A＜B．所以④正确．

⑤由函数y=|cos2x+|的图象可得函数的周期是π；所以⑤错误．

故答案为①③④．

1

题型：填空题

|

填空题

已知角α的终边经过点P（-4，3），则tan(α+π)的值等于______．

正确答案

∵角α的终边经过点P（-4，3），

∴tanα=-，

∴tan（α+）===-7．

故答案为：-7．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f(x)=2sin(ωx-)sin(ωx+)（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，若A＜B，且f(A)=f(B)=，求．

正确答案

（1）∵f(x)=2sin(ωx-)sin(ωx+)=2sin(ωx-)cos[(ωx+)-]

=2sin(ωx-)cos(ωx-)=sin(2ωx-)．（4分）

而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，

∴=π，解之，得ω=1．（6分）

（2）由（1）得f(x)=sin(2x-)．

若x是三角形的内角，则0＜x＜π，

∴-＜2x-＜．

令f(x)=，得sin(2x-)=，

∴2x-=或2x-=，

解之，得x=或x=．

由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且f(A)=f(B)=，

∴A=，B=，∴

C=π-A-B=．（10分）

又由正弦定理，得====．（12分）

1

题型：填空题

|

填空题

函数y=sin2x-cos2x的最小正周期是______．

正确答案

y=sin2x-cos2x=（sin2x-cos2x）=sin（2x-）

∴T==π

故答案为：π

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=2cosx•sin（x+）-．

（1）求函数f（x）的最小正周期T；

（2）在给定的坐标系中，用“五点法”作出函数f（x）在一个周期上的函数．

正确答案

（1）f（x）=2cosx•sin（x+）-

=2cosx（sinxcos+cosxsin）-

=2cosx（sinx+cosx）-

=sinxcosx+•cos2x-

=sin2x+•-

=sin2x+cos2x

=sin（2x+）．

∴T===π．

即函数f（x）的最小正周期为π．

（2）列表：

描点画图：

1

题型：简答题

|

简答题

已知复数,,且．

（Ⅰ）若且，求的值；

（Ⅱ）设＝，求的最小正周期和单调增区间．

正确答案

（Ⅱ）函数的最小正周期为T=π，的单调增区间.

（Ⅰ）∵

∴ ∴-----------------2分

若则得----------------------------4分

∵

∴或

∴ -------------------------------------------------6分

（Ⅱ）∵

＝

----------------------------------9分

∴函数的最小正周期为T=π-----------------------------------------10分

由得

∴的单调增区间.----------------12分

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=3sin（2x+）+cos（-2x）-1，

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；

（3）求函数f（x）的单调递增区间；

（4）该函数的图象可以由y=sinx的图象怎样变换得到？

正确答案

（1）f（x）=3sin（2x+）+cos（-2x）-1

=3sin（2x+）+cos[-（+2x）]-1

=3sin（2x+）+sin（2x+）-1=4sin（2x+）-1

函数的周期为T==π

（2）当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，ymax=3

当2x+=-+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，ymin=-5

（3）单增区间：-+2kπ≤2x+≤+2kπ，即-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z

即x∈[-+kπ，+kπ]，k∈Z

（4）y═sinx向左平移单位y=sin（x+）纵坐标不变，

横坐标缩小为原来的一半y=sin（2x+）横坐标不变，

纵坐标扩大为原来的4倍数y=4sin（2x+）

向上平移1个单位y=4sin（2x+）+1

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx-

（1）求函数f（x）的最小正周期．

（2）求函数f（x）的单调减区间．

（3）求函数取最小值时x的值．

正确答案

（1）∵f（x）=sin2x+sinxcosx-

=+sin2x-

=sin2x-cos2x

=sin（2x-）…4分

∴其最小正周期T==π…6分

（2）由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，

得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）…10分

（3）由2x-=2kπ-，k∈Z得：

x=kπ-，k∈Z．

∴函数取最小值时x的值为：x=kπ-，k∈Z…12分

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f(x)=2cosxsin(x+)-sin2x+sinxcosx

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若x∈[-，]时，求f（x）的单调递减区间．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=2cosx(sinx+cosx)-sin2x+sinxcosx

=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)

=sin2x+cos2x

=2sin(2x+)

∴T=π

（Ⅱ）f（x）的减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+，kπ+≤x≤kπ+

又∵x∈[-，-]，∴-≤x≤-或≤x≤

即f（x）在[-，-]和在[，]上单调递减．

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f（x）=sin（ωx）•cos（ωx）（ω＞0）（x∈R）的最小正周期为π，则ω=______．

正确答案

∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx），

∴T=2π÷2ω=π

∴ω=1，

故答案为：1．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=sin（2x-）+2，求：

（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

（Ⅰ）最小正周期T==π…（3分）

当sin(2x-)=1时，f（x）max=1+2=3…（6分）

（Ⅱ）由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z…（9分）

得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z…（11分）

∴f（x）的单调递增区间为[-+kπ，+kπ]（k∈Z）　…（12分）

（递增区间写为开区间或半开半闭区间不扣分，k∈Z未写扣1分）

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos2ωx-1）（ω＞0）在x=时取最大值2．x1，x2是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x1-x2|的最小值为．

（I）求a、b的值；

（II）若f(α)=，求sin(-4α)的值．

正确答案

（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，

可设f（x）=Asin（2ωx+ϕ），其中A=，sinϕ=，cosϕ=

由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由=π，知ω=1．

∴f（x）=2sin（2x+ϕ）（3分）

∵f()=2，∴sin(+ϕ)=1，从而+ϕ=+2kπ，k∈Z，

即ϕ=+2kπ(k∈Z)，∴f(x)=2sin(2x+)=sin2x+cos2x，

从而a=1，b=（6分）

（II）由f(α)=知2sin(2α+)=，即sin(2α+)=．

∴sin(-4α)=sin[-(4α+)]=-cos(4α+)

=-1+2sin2(2α+)=-1+2×()2=-．（12分）

1

题型：填空题

|

填空题

已知角α的终边过点（3，-4），则sinα=______．

正确答案

∵角α的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴sinα==-，

故答案为：-．

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案