- 三角函数
- 共22781题
已知函数f(x)=2cos(-x)cos(2π-x).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-,
]上的最大值和最小值.
正确答案
(Ⅰ)∵f(x)=2cos(-x)cos(2π-x)
=2sinxcosx
=sin2x
∴函数f(x)的最小正周期为π.
(Ⅱ)∵-≤x≤
∴-≤2x≤π
∴-≤sin2x≤1
∴f(x)在区间[-,
]上的最大值为1,最小值为-
.
已知向量=(cosx,sinx),
=(-cosx,cosx),函数f(x)=2
•
+1.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)当x∈[0,2π]时,求f(x)的单调减区间.
正确答案
(Ⅰ)因为f(x)=2•
+1=2(cosx,sinx)•(-cosx,cosx)+1=2(-cos2x+sinxcosx)+1
=1-2cos2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x
=sin(2x-
)
所以f(x)的最小正周期是T==π.
(Ⅱ)依条件得2kπ+≤2x-
≤2kπ+
(k∈Z).
解得kπ+≤x≤kπ+
(k∈Z).
又x∈[0,2π],所以≤x≤
,
≤x≤
.
即当x∈[0,2π]时,f(x)的单调减区间是[,
],[
,
].
若-<α<0,则点(tanα,cosα)位于第______象限.
正确答案
∵-<α<0,∴tanα<0,cosα>0,故点(tanα,cosα)位于第二象限.
故答案为二.
已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若=
且sinC=cosA
(Ⅰ)求角A、B、C的大小;
(Ⅱ)设函数f(x)=sin(2x+A)+cos(2x-),求函数f(x)的单调递增区间,并指出它相邻两对称轴间的距离.
正确答案
(Ⅰ)由题设及正弦定理知:=
,得sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=
当A=B时,有sin(π-2A)=cosA,即sinA=,得A=B=
,C=
;
当A+B=时,有sin(π-
)=cosA,即cosA=1不符题设
∴A=B=,C=
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知:f(x)=sin(2x+)+cos(2x-
)=2sin(2x+
)
当2x+∈[2kπ-
,2kπ+
](k∈Z)时,f(x)=2sin(2x+
)为增函数
即f(x)=2sin(2x+)的单调递增区间为[kπ-
,kπ+
](k∈Z).
它的相邻两对称轴间的距离为.
若角α的终边落在直线y=2x上,则sinα的值为______.
正确答案
∵角α的终边落在直线y=2x上
当角α的终边在第一象限时,
在α终边上任意取一点(1,2),则该点到原点的距离为
∴sinα==
当角α的终边在第三象限时,
在α终边上任意取一点(-1,-2),则该点到原点的距离为
∴sinα==-
故答案为±
已知=(sinx,-cosx),
=(cosx,
cosx),函数f(x)=
•
+
.
(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;
(2)当0≤x≤时,求函数f(x)的值域.
正确答案
(1)∵f(x)=sinxcosx-cos2x+
=sin2x-
(cos2x+1)+
=sin2x-
cos2x
=sin(2x-) …(2分)
∴f(x)的最小正周期为π,
令sin(2x-)=0,,得2x-
=kπ,
∴x=+
,(k∈Z).
故所求对称中心的坐标为(+
,0),(k∈Z)-…(4分)
(2)∵0≤x≤,∴-
<2x-
≤
…(6分)
∴-≤sin(2x-
)≤1,
即f(x)的值域为[-,1]…(8分)
已知角α的终边经过点P(a,2a)(a≠0),求角α的正弦、余弦、正切值.
正确答案
r==
=
|a|,
(1)若a>0,则角α的终边落在第一象限,
r=a,sinα=
=
,
cosα==
,tanα=
=2,
(2)若a<0,则角α的终边落在第三象限,
r=-a,sinα=-
=-
,
cosα=-=-
,tanα=
=2
已知函数f(x)=sin(π-x)sin(-x)+cos2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)当x∈[-,
]时,求函数f(x)的单调区间.
正确答案
(Ⅰ)f(x)=sinx•cosx+cos2x+
=sin2x+
cos2x+
=sin(2x+
)+
∴函数f(x)的最小正周期T==π
(Ⅱ)当x∈[-,
]时,2x+
∈[0,π]
∴当2x+∈[0,
]即x∈[-
,
]时,函数f(x)单调递增
当2x+∈[
,π]即x∈[
,
]时,函数f(x)单调递减
已知函数f(x)=cos2x+
sinxcosx+1(x∈R),
求:(1)函数f(x)的最小正周期、最值及取得最值时相应的x值;
(2)该函数的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得?
正确答案
∵f(x)=cos2x+
sinxcosx+1(x∈R),
=+
+1
=+
=sin(2x+
)+
.
(1)T==π;
当 2x+=2kπ+
,(k∈Z)时,
即 x∈{x|x=kπ+,(k∈Z)}时,
∴f(x)max=.
当 2x+=2kπ-
,(k∈Z)时,
即 x∈{x|x=kπ-,(k∈Z)}时,
∴f(x)min=.
(2)将函数y=sinx的图象上每一个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将图象向左平移
个单位长度,再将图象上每一个点的纵坐标变为原来的
倍(横坐标不变);最后在整体向上平移
个单位即可得到函数f(x)=
cos2x+
sinxcosx+1(x∈R)的图象.
已知0<x<<y<π,cos(y-x)=
.若tan
=
,分别求:
(1)sin和cos
的值;
(2)cosx及cosy的值.
正确答案
(1)由tanx==
=
且x为锐角,
所以cosx==
,
因为cosx=2cos2-1=
,
解得cos=
,
而tan=
=
,
所以sin=
cosx=
;
(2)由题知0<y-x<π,而cos(y-x)=得到y-x为锐角,
所以sin(y-x)==
,则tan(y-x)=
=
.
由tanx=,所以tany=
.则cosx=
,
因为y为钝角,所以cosy=-=-
.
已知函数f(x)=sinx+
cosx(x∈8).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函数f(x)的最大值和最小值.
正确答案
(Ⅰ)∵u(x)=si8x+
他osx
=si8x他os+他osxsi8
=si8(x+).…(4分)
∴函数u(x)的最小正周期为2π.…(6分)
(Ⅱ)当si8(x+)=1时,函数u(x)的最大值为1.…(9分)
当si8(x+)=-1时,函数u(x)的最小值为-1.…(12分)
已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(II)求函数f(x)在x∈[0,]的值域.
正确答案
f(x)=-sin2x+sinxcosx
=-×
+
sin2x
=sin2x+
cos2x-
=sin(2x+)-
,
(I)T==π
(II)∴0≤x≤,
∴≤2x+
≤
,
∴-≤sin(2x+
)≤1,
所以f(x)的值域为:[-,
]
在中,
,则
等于 .
正确答案
试题分析:由两角和的正切公式得,又
,所以
,又
,所以
,故
.
已知函数y=3sin(2x-).求①函数的周期T;②函数的单调增区间.
正确答案
①依题意可知:T==2即函数的周期为π(3分)
②令u=2x-则函数y=3sinu的单调增区间为[-
+2kπ,
+2kπ]k∈Z(5分)
由-+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,得:
-+kπ≤x≤
+kπk∈Z
函数y=3sin(2x-)的单调增区间为:[-
+kπ,
+kπ]k∈Z(8分)
已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+l.
(I)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若∈(0,
),且f(
)=1,求
的值。
正确答案
(I);(Ⅱ)
试题分析:(I)先用正弦、余弦二倍角公式和化一公式将此函数化简为正弦型函数,再根据周期公式求其周期。(Ⅱ)根据的范围先求整体角的范围,再根据特殊角三角函数值求整体角,即可求出
的值。
试题解析:(I)因为,
故f(x)的最小正周期为。
(Ⅱ),即
。因为
∈(0,
),所以
。所以
,所以
。
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