热门试卷

（1）f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.

（2）M的最小值为2.

① f(x)＝ 是保三角形函数.

对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.

同理可以证明：＋＞，＋＞.

所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数.

②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个

三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.

所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.

(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.

对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.

因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna＋lnb＞lnc.

同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.

故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.

(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

当0<M＜2时，取三个数M，M，M2∈［M，＋∞)，

因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，

而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，

所以h(x)＝lnx不是保三角形函数.

所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

综上所述：M的最小值为2.

小题1:

小题2:

小题1:

小题2:

令设则

在上是增函数

设，则，

在上是减函数，

所以当时，.

f(x)=2sinxcos(x+)+cos2x+sin2x

=2sinx（cosxcos-sinxsin）+cos2x+sin2x

=sinxcosx-sin2x+cos2x+sin2x

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+），

（1）因为T==π，所以f（x）的最小正周期为π；

（2）由-1≤sin（2x+）≤1，得到-2≤f（x）≤2，

则函数f（x）的最大值为2，最小值为-2；

（3）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，

解得：kπ-≤x≤kπ+，

则f（x）的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]．

（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(，1)

∴msin+cos=1，∴m=1…．（2分）

∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+)…．（3分）

∴函数的最小正周期T=2π…（4分）

（2）由（1）知：f(α+)=sin(α++)=sin(α+)=cosα=…（6分）

∴cosα=，又因为α∈(0，)∴sinα==…（9分）

∴f(2α-)=sin(2α-+)=sin2α=2sinαcosα=…（12分）

（1）根据正弦函数的性质可知，-1≤sinx≤1

∴-2≤y≤2

∴函数的最大值为2，最小值为-2，

T==4π

（2）令-π+2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z

∴4kπ-π≤x≤4kπ+π，k∈Z

∴函数的单调递增区间为[4kπ-π，4kπ+π]（k∈Z）

（I）由已知，得f(π)=sin2π+cosπcos(π-π)…（2分）

=+×

=…（5分）

（II）f（x）=sin2x+sinxcosx

=+

=sin2x-cos2x+

=sin(2x-)+

函数f（x）的最小正周期T=π…（11分）

值域为[，]…（13分）

设角α终边上任一点P（k，2k）（k≠0），则x=k，y=2k，r=|k|．

当k＞0时，r=k，α是第一象限角，sinα===，cosα===，tanα===2；

当k＜0时，r=-k，α是第三象限角，sinα===-，cosα===-，tanα===2．

综上，角α的正弦、余弦和正切值分别为、、2，或-、-、2．

（1）∵=(cosx，sinx)，=(cosx，-sinx+)，

所以y=•=cos2x-sin2x+．

又∵cosα=，

∴y=cos2x-sin2x+=cos2x+sin2x

=cos2x+=cos2x+．

所以该函数的最小正周期是π．

（2）因为=(cosα，sinα)，=(cosx，sinx)

所以•=cosαcosx+sinαsinx=cos(α-x)=

∵α-x是锐角

∴sin(α-x)==

∵∥

∴-cosαsinx+-sinαcosx=0，即sin(α+x)=

∵α+x是锐角

∴cos(α+x)==

∴cos2α=cos[（α+x）+（α-x）]=cos（α+x）cos（α-x）-sin（α+x）sin（α-x）

=×-×=，即cos2α=．

（1）∵f（x）=sin（x+φ），

∴函数f（x）的最小正周期为2π．

（2）∵函数y=f(2x+)=sin(2x++φ)，

又y=sinx的图象的对称轴为x=kπ+（k∈Z），

令2x++φ=kπ+，

将x=代入，得φ=kπ-（k∈Z）．

∵0＜φ＜π，∴φ=．