三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知A、B、C是△ABC的内角，向量且。

(1)求角A的大小；(2)若，求tanC 。

正确答案

见解析

解：(1)因为且，

所以-cosA+sinA="1," 得sin(A-)=。

因为AÎ(0,p),所以A-Î(-,),所以A-=,故A＝

(2)ÞÞÞtanB=2

tanC=tan(p-(A+B))=-tan(A+B)==

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题型：填空题

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填空题

若角α终边经过点P（-，y），且sinα=y（y≠0），则cosα=______．

正确答案

由任意角的三角函数的定义，可知=y，

解得y=±，P是二、三象限的角，

所以cosα=-=-=-．

故答案为：-．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．

正确答案

（Ⅰ）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2-2sin22x=sin4x+cos4x=sin(4x+)，…（6分）

所以函数f（x）的最小正周期为．…（8分）

（Ⅱ）依题意，y=g（x）=sin[4(x-)+]+1=sin(4x-)+1．…（10分）

因为0≤x≤，所以-≤4x-≤．…（11分）

当4x-=，即x=时，g（x）取最大值+1；

当4x-=-，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）

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题型：填空题

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填空题

已知角α的终边经过点P（3，4），则cosα+3sinα的值为______．

正确答案

由于角α的终边经过点P（3，4），

∴x=3，y=4，r=5，

∴cosα==，sinα==，

∴cosα+3sinα=+3×=3，

故答案为 3．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（1，cosx），=（，-sinx）

（1）当x∈[0，]时，若⊥，求x的值；

（2）定义函数f（x）=•(-)，x∈R，求f（x）的最小正周期及最大值．

正确答案

（1）若⊥，则 •=-sinxcosx=0，∴sin2x=，∵x∈[0，]，

∴2x∈[0，]，∴2x=，x=．

（2）∵-=（，cosx+sinx ），∴f（x）=+cosx （cosx+sinx ）=+

=+ sin（2x+），

则 T=π，最大值为 +，此时 x=kπ+，k∈z．

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题型：填空题

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填空题

给定下列四个命题：

①∃x0∈R，sinx0+cosx0＞；

②∃x0∈[0，]，=cosx0；

③已知随机变量X～N（μ，ρ2），ρ越小，则X集中在μ周围的概率越大；

④用相关指数R2来刻画回归的效果就越好，R2取值越大，则残差平方和越小，模型拟合的效果就越好．其中为真命题的是______．

正确答案

①x0∈R，sinx0+cosx0=sin（+x0）≤∴不正确

②由二倍角的余弦得 x0∈[0，]=cosx0，正确；

③ρ越小，曲线越“瘦高“，表示总体的分布越集中，则X集中在μ周围的概率越大，正确；

④R2取值越大，则残差平方和越小，由公式即得，正确；

故答案是：②③④

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题型：简答题

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简答题

设函数的图象的一条对称轴是直线

（1）求；

（2）求函数的递减区间；

（3）试说明的图象可由的图象作怎样变换得到.

正确答案

⑴；⑵

⑶纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）得到函数y=f(x)的图象

（1）由题意即

解得

即.

（2）是增函数

的递减区间，即为的递减区间.

由解得：.

（3）

纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）得到函数y=f(x)的图象

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题型：简答题

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简答题

已知向量=(cosx，sinx)．

（Ⅰ）若f(x)=•，求f()；

（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinxcosx，求g（x）的周期和最小值．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=•=cos2x-sin2x=cos2x

f()=cos=

（Ⅱ）g(x)=f(x)+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin(2x+)

g（x）的周期T==π

当sin(2x+)=-1时，函数g（x）有最小值-

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题型：填空题

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填空题

设x∈(0，]，则函数（sin2x+)(cos2x+)的最小值是______．

正确答案

令sinx=t∈（0，1]（x∈(0，]）则函数（sin2x+)(cos2x+)=t+，t∈（0，1]

∵t+≥2，等号当且仅当t==1时成立，

∴（sin2x+)(cos2x+)的最小值是2

故应填 2

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题型：填空题

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填空题

有下列4个命题

（1）第一象限角是锐角；

（2）y=sin（-2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z；

（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα=；

（4）若y=sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=；

其中正确命题为 ______．（填序号）

正确答案

α=370°是第一象限角，但不是锐角，故（1）不对；

∵y=sin（-2x）=-sin（2x-），令+2kπ≤2x-≤+2kπ

∴+kπ≤x≤+kπ∴y=sin（-2x）的单调增区间是（kπ+π，kπ+π），k∈Z；故（2）正确；

∵角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，当a＞0时，sinα=，cosα=，

当a＜0时，sinα=-，cosα=-，

∴sinα+cosα=或-，故（3）不对；

∵y=sin（ωx）的最小正周期为4π∴T==4π，∴ω=，故（4）正确．

故答案为：（2），（4）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+2cos2+a（a∈R，a为常数）．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在[-，]上的最大值与最小值之和为，求a的值．

正确答案

（Ⅰ）∵f(x)=sinx+cosx+1+a=2sin(x+)+a+1，（4分）

∴T=2π．（5分）

（Ⅱ）∵x∈[-，]，

∴x+∈[-，π]．

∴sin(x+)∈[-，1]．（8分）

∴（10分）

∴3+a-+1+a=，解得a=-2．（12分）

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题：

①正切函数的图象的对称中心是唯一的；

②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；

③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；

④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（-）=0．

其中正确命题的序号是______．

正确答案

①正切函数的图象的对称中心是唯一的；有正切函数的性质可知，是错误的；

②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为π、；前者正确，后者错误，不正确；

③若x1＞x2，则sinx1＞sinx2；如果x1=390°，x2=90°，sinx1＜sinx2；不正确；

④若f（x）是R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（-）=0．f（x+π）=f（x），

f（-+π）=f（）=-f（-）=-f（），f（-）=0正确．

故答案为：④

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题型：简答题

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简答题

已知ω＞0，向量=（1，2cosωx），=（sin2ωx，-cosωx）．设函数f（x）=•，且f（x）图象上相邻的两条对称轴的距离是．

（Ⅰ）求数ω的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．

正确答案

（Ⅰ）f(x)=•=sin2ωx-2cos2ωx

=sin2ωx-cos2ωx-1=2sin(2ωx-)-1．

∵f（x）的图象上相邻的两条对称轴的距离是，

∴f（x）的周期为π，∴ω=1．

（Ⅱ）∵ω=1∴f(x)=2sin(2x-)-1，

∵x∈[，]，∴2x-∈[，]，

则当2x-=，即x=时，f（x）取得最小值0；

当2x-=，即x=时，f（x）取得最大值1．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=4sin（π-x）cosx．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若θ∈（0，π），f(θ+)=，求sinθ的值．

正确答案

（1）∵f（x）=4sin（π-x）cosx=2sin2x，T==π

∴函数f（x）的最小=4sinxcosx正周期为π．

（2）由f（θ+）=，∴2sin2（θ+）=，化简可得cos2θ=

则1-2sin2θ=，∴sin2θ=由θ∈（0，π），

∴sinθ＞0，故sinθ=

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题型：填空题

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填空题

函数y=2sin2(-x)-1最小正周期为 ______的 ______函数．（填“偶”、“奇”）

正确答案

∵y=2sin2(-x)-1=-cos（-2x）=-sin2x

∴T==π

∵函数y=sinx为奇函数，

∴y=2sin2(-x)-1=-sin2x为奇函数

故答案为：π，奇．

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