三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知角α的终边经过点P(-3，-4)，求tan(α+)的值．

正确答案

∵α的终边经过点P（-3，-4），

∴由三角函数的定义知，tanα=…3分

∴tan（α+）==…7分

=-…10分

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题型：填空题

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填空题

函数f(x)=cos(ωx-)最小正周期为，其中ω＞0，则ω=______．

正确答案

∵f（x）=cos（ωx-）的最小正周期为，其中ω＞0，

∴T==，

∴ω=3．

故答案为：3．

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）

在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.

　　（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求∠C和ΔABC的面积.

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知，，则最小值为

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．

（1）如果，两点的纵坐标分别为，，求和

（2）在（Ⅰ）的条件下，求的值；

（3）已知点，求函数的值域．

正确答案

（1）

（2）

（3）

解：（1）根据三角函数的定义，得，．

又是锐角，所以，．……………………………4分

（2）由（Ⅰ）知，，．

又是锐角，是钝角，

所以，．

所以．……9分

（3）由题意可知，，．

所以，

因为，所以，

所以函数的值域为．……………………………14分

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题型：填空题

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填空题

有一广告气球直径为6米，放在公司大楼上空（如图），当某行人在A地观测气球时，其中心仰角为∠BAC=30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sinθ=θ，试估计气球的高BC的值约为米.

正确答案

86 m

sin2°=

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题型：简答题

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简答题

已知矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=12，将矩形纸片的右下角折起，使该角的顶点B落在矩形的边AD上，且折痕MN的两端点，M、N分别位于边AB、BC上，设。

（ⅰ）试将表示成的函数；

（ⅱ）求的最小值。

正确答案

⑴

（2）当时，取到最大值：的最小值为

如图所示，，则MB=，…

由题设得：+=6从而得……

即， ……………

设：则，即，，令，得

当时，，当时，，所以当时，取到最大值：的最小值为………………………………………

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题型：简答题

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简答题

已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．

（1）求式子的值；

（2）若函数()的图像关于直线对称,求的值．

正确答案

（1）角终边经过点，，又，.

原式= =

（2） () 且函数的图像关于直线对称， ∴　，即，

∴　，即

∴

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题型：填空题

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填空题

函数在上的单调递减区间为．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)(0＜ϕ＜π，ω＞0)，

（Ⅰ）若函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，且它的图象过（0，1）点，求函数y=f（x）的表达式；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间；

（Ⅲ）若f（x）的图象在x∈(a，a+) (a∈R)上至少出现一个最高点或最低点，则正整数ω的最小值为多少？

正确答案

（Ⅰ）f(x)=sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)

=2[sin(ωx+ϕ)-cos(ωx+ϕ)]

=2sin(ωx+ϕ-)（3分）

由题意得=2×，所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+ϕ-)

又因为y=f（x）的图象过点（0，1），

∴sin(ϕ-)=

又∵0＜φ＜π

∴ϕ=

∴f(x)=2sin(2x+)（6分）

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到y=2sin(2x-)的图象，

再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y=2sin(x-)的图象．

即g(x)═2sin(x-)（9分）

令2kπ-≤x-≤2kπ+，则4kπ-≤x≤4kπ+

∴g（x）的单调递增区间为[4kπ-，4kπ+] (k∈Z)．（12分）

（Ⅲ）若f（x）的图象在x∈(a，a+) (a∈R)上至少出现一个最高点或

最低点，则＜，即ω＞100π，又ω为正整数，

∴ωmin=315．（15分）

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题型：填空题

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填空题

设函数f（θ）=tan2θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与单位圆交于点P(，-)，则f(θ)=______．

正确答案

依题意得：tanθ==-，

∴f（θ）=tan2θ===．

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

（理科）三个数a、b、c∈（0，），且cosa=a，sin（cosb）=b，cos（sinc）=c，则a、b、c从小到大的顺序是______．

正确答案

先证明当x∈（0，）时，sinx＜x

设y=sinx-x，则y′=cosx-1＜0，∴y=sinx-x为（0，）上的减函数，∴y＜sino-0=0，即sinx＜x

同理可证明f（x）=sin（cosx）-x为（0，）上的减函数，g（x）=cos（sinx）-x为（0，）上的减函数

∵sina＜a

∴cos（sina）-a=cos（sina）-cosa＞0，而cos（sinc）-c=0，

∴g（a）＞g（c），a、c∈（0，），

∴a＜c

同理∵x∈（0，）时，sinx＜x，∴sin（cosa）＜cosa

∴sin（cosa）-a=sin（cosa）-cosa＜0，而sin（cosb）-b=0

∴f（a）＜f（b），a、b∈（0，），

∴a＞b

综上所述，b＜a＜c

故答案为b＜a＜c

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）若θ为锐角，且f(θ+)=，求tan2θ的值．

正确答案

（1）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x（2分）

=(sin2x+cos2x)（3分）

=sin(2x+)．（4分）

∴f（x）的最小正周期为=π，最大值为．（6分）

（2）∵f(θ+)=，∴sin(2θ+)=．（7分）

∴cos2θ=．（8分）

∵θ为锐角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π．

∴sin2θ==．（10分）

∴tan2θ==2．（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，)

（1）求出a、sinα、cosα、tanα的值；

（2）求的值．

正确答案

（1）∵角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，)，故有a＜0，=1．

解得 a=-．

故 cosα=a=-，sinα=，tanα==-．

（2）==tanα-1=-．

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题型：简答题

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简答题

已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，)

（1）求出a、sinα、cosα、tanα的值；

（2）求的值．

正确答案

（1）∵角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，)，故有a＜0，=1．

解得 a=-．

故 cosα=a=-，sinα=，tanα==-．

（2）==tanα-1=-．

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