三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)

如图在中,，

(1)求的值；

(2)求．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

已知函数f(x)=cos(3x+ )(x∈R)，给出如下结论：

①函数f（x）的最小正周期为； ②函数f（x）是奇函数； ③函数f（x）的图象关于点(，0)对称；④函数f（x）在区间[0，]上是减函数．

其中正确命题的序号是______．（写出所有正确命题的序号）

正确答案

因为函数f(x)=cos(3x+ )(x∈R)，

所以函数的周期是T=，所以①正确；

因为函数f(x)=cos(3x+ )(x∈R)，

所以f(x)=cos(3x+)=-sin3x，

f（-x）=-sin（-3x）=sin3x=-f（x），

函数是奇函数，②正确；

当x=时，f（）=-sin（3×）=-sinπ=0，

函数所以函数的图象关于点(，0)对称，正确；

因为f（x）=-sin3x，3x∈[-，]，即x∈[-，]时，函数是减函数，

所以函数f（x）在区间[0，]上是减函数不正确．

故答案为：①②③．

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题型：填空题

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填空题

若函数已知函数f(x)=1-cosx，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）=______．

正确答案

∵f（x）=1-cosx，

∴其周期T==4，

又f（0）=1-1=0，f（1）=1-0=1，f（2）=1-（-1）=2，f（3）=1-0=1，

∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=4，

又2013÷4=503，

∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2012）

=503×4+f（2012）

=2012+f（0）

=2012+0

=2012．

故答案为：2012．

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（Ⅰ）若,求的最大值和最小值；

（Ⅱ）若,求的值.

正确答案

(1) 见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：(1) 先将化为一角一函数形式，再根据正余弦函数的性质在定区间上求最值.此类题目必须将函数先化为一角一函数形式，化一角一函数的方法是对于函数,其中；(ⅱ)根据(1)和条件，求出，再将所求式子化简求值 .

试题解析：（I） 3分

又，

6分

（II）由于，所以，解得 8分

原式= 12分

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题型：简答题

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简答题

已知中，三边所对的角分别为，，函数。

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）求角的大小；

（3）求的取值范围

正确答案

（1）（2）（3）

（1）

∴，又令

∴的单调递减区间为．………………………6分

（2）由，又∴．…9分

（3）由（2）知，，∴，又，

．…………13分

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题型：简答题

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简答题

设角A，B，C为△ABC的三个内角.

（Ⅰ）若，求角A的大小；

（Ⅱ）设，求当A为何值时，f(A)取极大值，并求其极大值.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，取极大值，且极大值为

（Ⅰ）由已知，，即.（2分）

所以，即. （4分）

在△ABC中，因为，则，所以，从而.（5分）

而，即. （6分）

（Ⅱ）因为.（8分）

因为，则.由，得，所以，即.

所以当时，为增函数；当时，为减函数. （10分）

故当时，取极大值，且极大值为（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB().

(1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；

(2)判断其单调性，并加以证明；

(3)求这个函数的值域.

正确答案

(1),定义域为(，)∪(，1］ (2) f(x)在(,)和(，1上都是减函数,(3) f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞

(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］.

(2)设x1＜x2，

∴f(x2)－f(x1)==，

若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0

即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0.

4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0.

即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数.

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞.

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题型：简答题

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简答题

将一块圆心角为，半径为㎝的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径OA上，或让矩形一边与弦AB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并求出这个最大值.

正确答案

最大面积为

按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设，则

，所以矩形OPMN的面积

即当时，.

按图(2)的裁法：矩形一边PQ与弦AB平行，设，在△MOQ中，

，则正弦定理得：

又

当时，

由于，所以用第二种裁法得面积最大的矩形，最大面积为.

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题型：填空题

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填空题

函数y=2cos2(x+)-1的最小正周期是______．

正确答案

y=2cos2(x+)-1

=cos[2（x+）]

=cos（2x+），

∵ω=2，∴T==π．

故答案为：π

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分10分）设函数 (其中＞

0,),且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.

（1）求的最小正周期；

（2）如果在区间上的最小值为，求a的值.

正确答案

解：（1）

＝＝，

∵的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为，

，；

所以

（2）由（1）的，

，，

∴当时，取最小值，

∴在区间的最小值为，

，

略

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题型：填空题

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填空题

设函数的图像关于点成中心对称，若，则=_______.

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

函数的最小正周期是________________.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分10分）

已知向量，．

（I）若,求值；

（II）在中，角的对边分别是，且满足，

求函数的取值范围．

正确答案

解：（I）

=

= ----------------3分

∵ ∴∴=-------5分

（II）∵，

由正弦定理得

∴

∴- ----------------6分

∵∴，且

∴∵∴ ---------------8分

∴

∴ ∴ --------10分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知复数，，（i为虚数单位，），且．

（1）若且，求的值；

（2）设，已知当时，，试求的值．

正确答案

（1）因为，所以，所以，…………………2分

若，则，得. …………………………………………4分

因为，所以，所以或，

所以或. ………………………………………………………………………………6分

（2）因为， ……………………………………8分

因为当时，，所以，，……………………10分

所以……………………………………………12分

. ……………………………………………………………14分

略

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题型：填空题

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填空题

若函数同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为；（2）图象关于直线对称；（3）在区间上是增函数，则的解析式可以是_______________.

正确答案

略

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