- 三角函数
- 共22781题
关于函数f(x)=sin2x-cos2x有下列命题:
①y=f(x)的周期为π;
②x=是y=f(x)的一条对称轴;
③(,0)是y=f(x)的一个对称中心;
④将y=f(x)的图象向左平移个单位,可得到y=
sin2x的图象,
其中正确的命题序号是______.(把你认为正确命题的序号都写上)
正确答案
f(x)=sin2x-cos2x=sin(2x-
)
所以周期为=π,故命题1正确.
对称轴为x=所以命题2错误.命题3正确.
y=f(x)的图象向左平移个单位,可得到
sin2x的图象,所以命题4错误.
故答案为①③.
“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式: .
正确答案
试题分析:甲图中,阴影部分是边长为1,内角为的菱形,其面积是
;乙图中,阴影部分是由两个矩形组成,一个边长分别是
,另一个边长分别是
,面积
;因为两图中的阴影部分面积相同,所以
.
已知,
(1)若,且
∥(
),求x的值;
(2)若,求实数
的取值范围.
正确答案
(1) (2)
.
试题分析:(1)先将向量化为代数式,即
,
;
(2)由已知先写出,
的坐标,再由
则有:
当
时等式不成立;将
写成关于
的函数,即
,再求函数的值域即是
的取值范围为
(或解)用表示
,即
,又因为
,可解
得
的取值范围为
.
试题解析:(1),
,
,
(2),
若 则有:
当时等式不成立;
解得:
的取值范围为
若,则
.
正确答案
.
试题分析:原等式可化为,即
则
,所以
.
已知角α的顶点在坐标原点,终边经过点P(-3k,4k),(k<0),则cosα=______.
正确答案
由题意可得 x=-3k,y=4k,r=|OP|==-5k,
故cosα==
=
,
故答案为:.
若角α的终边经过点(-,-
),则sinα-cosα的值是 ______.
正确答案
角α的终边经过点(-,-
),设为P,则|OP|=
;
所以sinα=-,cosα=-
所以sinα-cosα=-+
=
故答案为:
已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos
),则角α的最小正值为______
正确答案
由题意可知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos
),即(
,-
)
∴sinα=-,cosα=
∴α=
+2kπ(k∈Z)
故角α的最小正值为:
故答案为:
如图所示,已知是半径为1,圆心角为
的扇形,
是扇形弧
上的动点,
,
与
交于点
,
,
与
交于点
.记
.
(1).若,如图3,当角
取何值时,能使矩形
的面积最大;
(2).若,如图4,当角
取何值时,能使平行四边形
的面积最大.并求出最大面积.
正确答案
(1) ;(2) 当
时,平行四边形
的面积最大,
试题分析:(1)由任意角三角函数定义可知,则
,所以
,根据三角函数图像求最值.(2) 过A作AH⊥OP,垂足为H.则
.由任意角三角函数定义可知
,用
分别表示出
的值.将
化简变形后根据三角函数图像求其最值.
试题解析:解
(1)如图,连结,设
,矩形
的面积为S,则
.
所以, 2分
当,即
时,
所以矩形的面积最大时,
; 4分
(2)如图,连结,设
,过
作
,垂足为
,
在中,
.
在中,
所以
所以
设平行四边形的面积为
,则
=
=
==
8分
因为 所以
所以当
,即
时,
,
所以当时,平行四边形
的面积最大,
. 12分
(2012•广东)已知函数(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设,
,
,求cos(α+β)的值.
正确答案
(1) (2)
(1)由题意,函数(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π
所以ω==
,即
所以
(2)因为,
,
分别代入得及
∵
∴
∴
已知,其中
(1)求函数的最小正周期,并从下列的变换中选择一组合适变换的序号,经过这组变换的排序,可以把函数
的图像变成
的图像;(要求变换的先后顺序)
①纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,
②纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,
③横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,
④横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,
⑤向上平移一个单位,
⑥向下平移一个单位,
⑦向左平移个单位,
⑧向右平移个单位,
⑨向左平移个单位,
⑩向右平移个单位,
(2)在中角
对应边分别为
,
,求
的长.
正确答案
(1). ⑨③⑥或③⑨⑥.(2)
.
试题分析:(1)首先利用倍角的三角函数公式及辅助角公式,将三角函数式“化一”.函数图象的变换遵循“左加右减,上加下减”.(2)在确定得到表达式的基础上,利用
及角的范围,可得到
;进一步利用三角形面积公式即余弦定理得到
.
试题解析:(1)
3分
的最小正周期为
5分
把的图像向左平移
,然后,横坐标不变,纵坐标变为原来
倍,再向下平移一个单位得到函数
的图像;即⑨③⑥或③⑨⑥ 8分
(2)
10分
(另解: 10分)
10分
14分
已知△ABC的周长为6,角A,B,C所对的边a,b,c成等比数列
(1)求角B及边b的最大值;
(2)设△ABC的面积为S,求S+最大值
正确答案
解:(1)∵a+b+c=6,b2=ac,
∴,
a=c时取等号,故B有最大值.………………………………………3分
又,从而b有最大值2,
时取等号.……6分
(2)∵S=acsinB=
b2sinB,
由(1)知B=,b=2时它有最大值
.………………………………8分
-(b+3)2+27.
∴≤
,即当 b=2时有最大值
.……………11分
∴的最大值为
+
.…………………………………………12分
略
已知角φ的终边经过点P(1,-1),点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,则f(
)的值是______.
正确答案
∵角φ的终边经过点P(1,-1),∴角φ的终边在第四象限,且tanφ=-1,故可以取φ=-.
点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,
若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,
则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于,故函数的周期为
,故
=
,解得ω=3.
故函数的解析式为 f(x)=sin(3x-),∴f(
)=sin(
-
)=sin
=-sin
=-
,
故答案为-.
(本小题满分12分)
已知函数的最大值为
,
是集合
中的任意两个元素,且|
|的最
小值为
。
(I)求,
的值
(II)若,求
的值
正确答案
略
已知向量,向量
,函数
的最小正周期为
,其中
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求当时
的单调递增区间.
正确答案
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅰ)向量
,向量
,
(Ⅱ),令
, 当
满足题意
不满足题意,
不满足题意,
取其他整数,也不满足
,
时,
的单调递增区间为
已知,
,
(Ⅰ)若,求
的解集;(Ⅱ)求
的周期及增区间.
正确答案
;增区间为
(Ⅰ),
.
或
或
所求解集为
(Ⅱ)
的增区间为
原函数增区间为
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