三角函数_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知函数y=sinx+cosx与直线y=m无交点，则m满足的条件为______．

正确答案

m＞2或m＜-2

解析

解：函数y=sinx+cosx=2sin（x+）

其值域为：[-2，2]

y=m与其无交点条件即为[-2，2]之外，即：

m＞2或m＜-2

1

题型：单选题

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单选题

的值是（　　）

A

B

C

D-

正确答案

B

解析

解：原式==．

故选B

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题型：填空题

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填空题

已知cos2α=-，α∈（0，），则sin（-α）的值为______．

正确答案

解析

解：由已知cos2α=-，α∈（0，），可得2cos2α-1=-，

解得cosα=，sinα=，

则sin（-α）=sincosα-cossinα=-=．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知sin-cos=-，＜α＜π，求tan的值．

正确答案

解：∵sin-cos=-，sin2+cos2=1，

∴解得，或，

∵＜α＜π，∴＜＜，∴cos＞0，

∴，∴tan==5-2

解析

解：∵sin-cos=-，sin2+cos2=1，

∴解得，或，

∵＜α＜π，∴＜＜，∴cos＞0，

∴，∴tan==5-2

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题型：简答题

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简答题

已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A-B）．

（1）若B=，求A；

（2）若tanA=2，求tanB的值．

正确答案

解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A-B），B=，

得 sin（A+）=2sin（A-）．

∴．

化简，得 sinA=cosA．

∴tanA=．

又A∈（0，π），∴A=．

（2）∵sin（A+B）=2sin（A-B）．

∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB-cosAsinB）．

化简，得 3cosAsinB=sinAcosB．

又 cosAcosB≠0，

∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．

解析

解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A-B），B=，

得 sin（A+）=2sin（A-）．

∴．

化简，得 sinA=cosA．

∴tanA=．

又A∈（0，π），∴A=．

（2）∵sin（A+B）=2sin（A-B）．

∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB-cosAsinB）．

化简，得 3cosAsinB=sinAcosB．

又 cosAcosB≠0，

∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．

1

题型：填空题

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填空题

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则

①；

②；

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

④f（x）的单调递增区间是；

⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．

以上结论正确的是______（写出所有正确结论的编号）．

正确答案

①②③

解析

解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）

∵

∴2×+θ=kπ+

∴θ=kπ+

∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）

对于①=±sin（2×+）=0，故①对

对于②，=sin（），|f（）|=sin（），

∴，故②正确．

对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数

对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对

对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，

且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，

∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错

故答案为：①②③．

1

题型：单选题

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单选题

已知α，β∈（，π），sin（α+β）=-，sin（β-）=，则cos（α+）=（　　）

A

B

C-

D-

正确答案

C

解析

解：∵α，β∈（，π），

∴α+β∈（，2π），β-∈（，），

∵sin（α+β）=-，sin（β-）=，

∴cos（α+β）=，cos（β-）=-，

则cos（α+）=cos[（α+β）-（β-）]=cos（α+β）cos（β-）+sin（α+β）sin（β-）=×（-）+（-）×=-．

故选C

1

题型：单选题

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单选题

将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则的值为（　　）

A2

B

C0

D-1

正确答案

B

解析

解：∵函数=2sin（2x+），

将函数的图象向右平移个单位后得到函数g（x）

=2sin[2（x-）+）]=2sin（2x）的图象，

故 g（）=2sin=，

故选B．

1

题型：简答题

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简答题

已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量=（3c-b，a-b），=（3a+3b，c），∥．

（1）求cosA的值；

（2）求sin（2A+30°）的值．

正确答案

解：（1）∵（3c-b）c-（a-b）（3a+3b）=0，

∴a2=b2+c2-bc，

又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，

∴cosA=；

（2）由cosA=，A为△ABC的内角得：sinA==，

∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A-1=-，

∴sin（2A+30°）=sin2Acos30°+cos2Asin30°

=×+（-）×=．

解析

解：（1）∵（3c-b）c-（a-b）（3a+3b）=0，

∴a2=b2+c2-bc，

又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，

∴cosA=；

（2）由cosA=，A为△ABC的内角得：sinA==，

∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A-1=-，

∴sin（2A+30°）=sin2Acos30°+cos2Asin30°

=×+（-）×=．

1

题型：简答题

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简答题

已知向量=（sinx，1），=（4cosx，2cosx），设函数f（x）=•．

（1）求函数f（x）的解析式．

（2）求函数f（x），x∈[-π，π]的单调递增区间．

（3）设函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，试探求n的值及对应的k的取值范围．

正确答案

解：（1）函数f（x）=•=4sincos+2cosx=2sinx+2cosx=4sin（x+）．

（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z．

再结合x∈[-π，π]可得函数的增区间为[-，]．

（3）∵函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，

即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[-π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：

当k＞4，或 k＜-4时，n=0；

当k=4，或 k=-4时，n=1；

当-4＜k＜-2，或-2＜k＜4时，n=2；

当k=-2时，n=3．

解析

解：（1）函数f（x）=•=4sincos+2cosx=2sinx+2cosx=4sin（x+）．

（2）令 2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ-≤x≤2kπ+，k∈z．

再结合x∈[-π，π]可得函数的增区间为[-，]．

（3）∵函数h（x）=f（x）-k（k∈R）在区间[-π，π]上的零点的个数为n，

即函数y=f（x）的图象和直线y=k在区间[-π，π]上的零点的个数为n，结合函数f（x）的图象可得：

当k＞4，或 k＜-4时，n=0；

当k=4，或 k=-4时，n=1；

当-4＜k＜-2，或-2＜k＜4时，n=2；

当k=-2时，n=3．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R，ω＞0），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值为，则函数g（x）=f（x）-1在[-2π，0]上零点的个数为______．

正确答案

1

解析

解：化简可得f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），

又∵|α-β|的最小值为，∴==，T为函数周期，

∴ω=，∴g（x）=f（x）-1=2sin（x+）-1，

令2sin（x+）-1=0可得x+=2kπ+或x+=2kπ+，k∈Z，

解得x=3kπ-或x=3kπ+，k∈Z，

结合x∈[-2π，0]可知当且仅当k=0时，有x=-符合题意．

故答案为：1．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求f（x）最小正周期及单调递增区间；

（2）当时，求f（x）的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）由于函数=sin+cos=2sin（+），

可得周期T==4π．

令 2kπ-≤+≤2kπ+，k∈z，求得 4kπ-≤x≤4kπ+，k∈z，

可得函数的增区间为[4kπ-，4kπ+]，k∈z．

（2）当时，≤+≤，

故当+=时，f（x）=2sin（+）取得最小值为，

当 +=时，f（x）=2sin（+）取得最大值为2．

解析

解：（1）由于函数=sin+cos=2sin（+），

可得周期T==4π．

令 2kπ-≤+≤2kπ+，k∈z，求得 4kπ-≤x≤4kπ+，k∈z，

可得函数的增区间为[4kπ-，4kπ+]，k∈z．

（2）当时，≤+≤，

故当+=时，f（x）=2sin（+）取得最小值为，

当 +=时，f（x）=2sin（+）取得最大值为2．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•石河子校级期末）已知cos（α+β）=，α，β均为锐角，求sinα的值．

正确答案

解：由，

根据α，β∈（0，），得到α+β∈（0，π），

所以sin（α+β）==，sinβ==，

则sinα=sin[（α+β）-β]

=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

=×-×=．

解析

解：由，

根据α，β∈（0，），得到α+β∈（0，π），

所以sin（α+β）==，sinβ==，

则sinα=sin[（α+β）-β]

=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

=×-×=．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，-2）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求sin（x0+）的值．

正确答案

解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，-2）．

∴A=2，=x0+-x0=，

即函数的周期T=π，即T=，解得ω=2，

即f（x）=2sin（2x+）．

（2）∵函数的最高点的坐标为（x0，2），

∴2x0+=，

即x0=，

则sin（x0+）=sin（+）=sincos+cossin

=（sin+cos）=（）=．

解析

解：（1）∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+，-2）．

∴A=2，=x0+-x0=，

即函数的周期T=π，即T=，解得ω=2，

即f（x）=2sin（2x+）．

（2）∵函数的最高点的坐标为（x0，2），

∴2x0+=，

即x0=，

则sin（x0+）=sin（+）=sincos+cossin

=（sin+cos）=（）=．

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题型：简答题

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简答题

设0＜α＜，求证：1＜sinα+cosα≤．

正确答案

解：化简可得sinα+cosα=（sinα+cosα）

=（sinαcos+cosαsin）=sin（α+）

∵0＜α＜，∴＜α+＜，

∴sin（α+）∈（，1]，

∴sin（α+）∈（1，]，

即1＜sinα+cosα≤．

解析

解：化简可得sinα+cosα=（sinα+cosα）

=（sinαcos+cosαsin）=sin（α+）

∵0＜α＜，∴＜α+＜，

∴sin（α+）∈（，1]，

∴sin（α+）∈（1，]，

即1＜sinα+cosα≤．

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