三角函数_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知sin（）=，那么sin2x的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵已知sin（）=，∴sin2x=cos（2x-）=1-2 =1-2×=，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知，

（1）求函数f（x）的单调递减区间，并指出函数y=f（x）的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；

（2）当时，求函数f（x）的最值，并求出函数取最值时的x的值．

正确答案

解：（1）f（x）=（1+cos2x）+3sin2x-

=（cos2x+sin2x）

=2sin（2x+）

+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z

∴f（x）的单调减区间[+kπ，+kπ]，k∈Z

y=2sin2x向左平移得到y=2sin（2x+）

（2）∵x∈[0，]

∴2x+∈[，]

∴sin（2x+）∈[-，1]

∴当2x+=，即x=时，f（x）min=-，

当2x+=，即x=时，f（x）max=2．

解析

解：（1）f（x）=（1+cos2x）+3sin2x-

=（cos2x+sin2x）

=2sin（2x+）

+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z

∴f（x）的单调减区间[+kπ，+kπ]，k∈Z

y=2sin2x向左平移得到y=2sin（2x+）

（2）∵x∈[0，]

∴2x+∈[，]

∴sin（2x+）∈[-，1]

∴当2x+=，即x=时，f（x）min=-，

当2x+=，即x=时，f（x）max=2．

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题型：简答题

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简答题

已知sin（α+β）=，sinα=，且α+β是第二象限角，α是第一象限角，求sinβ．

正确答案

解：∵sin（α+β）=，sinα=，且α+β是第二象限角，α是第一象限角，

∴cos（α+β）=-=-，cosα==，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

=-（-）×=

解析

解：∵sin（α+β）=，sinα=，且α+β是第二象限角，α是第一象限角，

∴cos（α+β）=-=-，cosα==，

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

=-（-）×=

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题型：简答题

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简答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）在单位圆O上，∠xOA=α，且α∈（，）．

（1）若cos（α+）=-，求x1的值；

（2）若B（x2，y2）也是单位圆O上的点，且∠AOB=．过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．设f（α）=S1+S2，求函数f（α）的最大值．

正确答案

解：（1）由三角函数的定义有x1=cosα，

∵cos（α+）=-，α∈（，），∴，

∴==．

（2）由y1=sinα，得．

由定义得，，

又由α∈（，），得α+∈（，），

于是，=．

∴=

===sin（2α-）．

再根据 2α-∈（，），可得当2α-=，即α=时，函数f（α）取得最大值．

解析

解：（1）由三角函数的定义有x1=cosα，

∵cos（α+）=-，α∈（，），∴，

∴==．

（2）由y1=sinα，得．

由定义得，，

又由α∈（，），得α+∈（，），

于是，=．

∴=

===sin（2α-）．

再根据 2α-∈（，），可得当2α-=，即α=时，函数f（α）取得最大值．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若AB=1，向量=（sinA，cos2A），=（4，1），当•取最大值时，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）△ABC中，∵2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，解得cosB=，∴B=．

（Ⅱ）∵向量=（sinA，cos2A），=（4，1），

∴=4sinA+cos2A=4sinA+1-2sin2A=-2（sinA-1）2+3，

∴当sinA=1时，取得最大值，此时，A=，B=，AC=，

故三角形ABC的面积S=×AB×AC=．

解析

解：（Ⅰ）△ABC中，∵2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，

∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，解得cosB=，∴B=．

（Ⅱ）∵向量=（sinA，cos2A），=（4，1），

∴=4sinA+cos2A=4sinA+1-2sin2A=-2（sinA-1）2+3，

∴当sinA=1时，取得最大值，此时，A=，B=，AC=，

故三角形ABC的面积S=×AB×AC=．

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题型：填空题

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填空题

已知α，β为锐角，sinα=，sinβ=，则α+2β=______．

正确答案

解析

解：∵α，β为锐角，sinα=，sinβ=，

∴cosα=，cosβ=，

∴sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=cos2β-sin2β=，

∴cos（α+2β）==

又sinα=＜，sinβ=＜，

∴0＜α＜且0＜β＜，

∴0＜α+2β＜，∴α+2β=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知，若α∈（0，π）存在，使f（x+α）=f（x-α）对一切实数x恒成立，则α=______．

正确答案

解析

解：∵f（x+α）=f（x-α）

∴f（x+α）-f（x-α）=0

即3{sin[（2x-）+2α]-sin[（2x-）-2α]}=3{sin（2x-）cos2α+cos（2x-）sin2α-sin（2x-）cos2α+cos（2x-）sin2α}=2cos（2x-）sin2α=0

∵f（x+α）=f（x-α）对一切实数x恒成立

∴sin2α=0

∵α∈（0，π）

∴α=

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin2x-sin2（x-），x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[-，]内的最大值和最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x-sin2（x-）

=（1-cos2x）-[1-cos（2x-）]

=（1-cos2x-1+cos2x+sin2x）

=（-cos2x+sin2x）

=sin（2x-）

∴f（x）的最小正周期T==π；

（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-1，]，∴sin（2x-）∈[-，]，

∴f（x）在区间[-，]内的最大值和最小值分别为，-

解析

解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x-sin2（x-）

=（1-cos2x）-[1-cos（2x-）]

=（1-cos2x-1+cos2x+sin2x）

=（-cos2x+sin2x）

=sin（2x-）

∴f（x）的最小正周期T==π；

（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]，

∴sin（2x-）∈[-1，]，∴sin（2x-）∈[-，]，

∴f（x）在区间[-，]内的最大值和最小值分别为，-

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题型：填空题

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填空题

已知sin（α+β）=，且sin（π+α-β）=，求=______．

正确答案

解析

解：sin（α+β）=，

即为sinαcosβ+cosαsinβ=，①

sin（π+α-β）=，即为sin（α-β）=-，

即有sinαcosβ-cosαsinβ=-，②

由①②可得，

sinαcosβ=，cosαsinβ=，

则==．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•芜湖校级期中）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）求f（x）的图象的对称中心和对称轴方程．

正确答案

解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=1+2sinxcosx+cos2x

=1+sin2x+cos2x=，

∴函数f（x）的最小正周期为T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ可得，

∴f（x）的单调增区间是，k∈Z；

（2）令，则，

∴f（x）的图象的对称中心为（-+，1），k∈Z，

令，得x=+，k∈Z，

∴f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z

解析

解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=1+2sinxcosx+cos2x

=1+sin2x+cos2x=，

∴函数f（x）的最小正周期为T==π，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ可得，

∴f（x）的单调增区间是，k∈Z；

（2）令，则，

∴f（x）的图象的对称中心为（-+，1），k∈Z，

令，得x=+，k∈Z，

∴f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z

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题型：简答题

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简答题

已知α∈（0，），β∈（，π），且sin（α+β）=，cosβ=-，求tanα的值．

正确答案

解：∵α∈（0，），β∈（，π），

∴α+β∈（），

又sin（α+β）=，∴α+β∈（，π），

则cos（α+β）==．

由cosβ=-，得=．

∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

==．

cosα==．

∴tanα==．

解析

解：∵α∈（0，），β∈（，π），

∴α+β∈（），

又sin（α+β）=，∴α+β∈（，π），

则cos（α+β）==．

由cosβ=-，得=．

∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ

==．

cosα==．

∴tanα==．

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题型：简答题

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简答题

已知a是第三象限角，且f（a）=

（1）化简f（a）；

（2）若sin（a-）=，求f（a）的值．

正确答案

解：（1）f（a）===-cosa

（2）由（1）知f（a）=-cosa

∵sin（a-）=cosa=

∴f（a）=-

解析

解：（1）f（a）===-cosa

（2）由（1）知f（a）=-cosa

∵sin（a-）=cosa=

∴f（a）=-

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题型：填空题

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填空题

对于函数f（x），若存在实数m＞0，对定义域内的任意实数x都有|f（x）|≤m，则称该函数为“有界函数”，已知函数f（x）=sin2x+sin（2x-）为“有界函数”，则m的取值集合为______．

正确答案

[2，+∞）

解析

解：∵函数f（x）=sin2x+sin（2x-）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）

∴|f（x）|≤2，

∵存在实数m＞0，对定义域内的任意实数x都有|f（x）|≤m，

∴m≥2，

∴m的取值集合为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx+（ω＞0），其两条相邻对称轴之间的距离等于．

（Ⅰ）求f（x）的解析式

（Ⅱ）若对∀x∈[-，0]，都有|f（x）-m|≤1，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+×+

=sin2ωx+cos2ωx++

=sin（2ωx+）++，

∵两条相邻对称轴之间的距离等于．

∴T=2×，即，则ω=1，

则f（x）=sin（2x+）++．

（2）若|f（x）-m|≤1，

则-1≤f（x）-m≤1，

即f（x）-1≤m≤1+f（x），

∵x∈[-，0]，

∴2x∈[-，0]，2x+∈[，]，

则sin（2x+）∈[，]，

sin（2x+）++∈[+2，+]，

即f（x）∈[+2，+]，

f（x）-1∈[+1，+]，f（x）+1∈[+3，+]，

则+≤m≤+3，

即实数m的取值范围是[+，+3]．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+×+

=sin2ωx+cos2ωx++

=sin（2ωx+）++，

∵两条相邻对称轴之间的距离等于．

∴T=2×，即，则ω=1，

则f（x）=sin（2x+）++．

（2）若|f（x）-m|≤1，

则-1≤f（x）-m≤1，

即f（x）-1≤m≤1+f（x），

∵x∈[-，0]，

∴2x∈[-，0]，2x+∈[，]，

则sin（2x+）∈[，]，

sin（2x+）++∈[+2，+]，

即f（x）∈[+2，+]，

f（x）-1∈[+1，+]，f（x）+1∈[+3，+]，

则+≤m≤+3，

即实数m的取值范围是[+，+3]．

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题型：简答题

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简答题

已知sina+sinB=，cosa+cosB=，求tg（a+B）的值．

正确答案

解法一：由已知得

sinα+sinβ=2sincos=，

cos，

两式相除得tan=，

tan（α+β）=

=

解析

解法一：由已知得

sinα+sinβ=2sincos=，

cos，

两式相除得tan=，

tan（α+β）=

=

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