三角函数_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知cosα=，sin（α+β）=，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．

正确答案

解：∵cosα=，0＜α＜，

∴sinα=

∵sinα=，0＜α＜，0＜β＜，sin（α+β）=，

sinα＞sin（α+β）

∴

∴sinβ=sin[（α+β）-α]

=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

=

又∵0＜β＜，

∴．

∴角β的值为．

解析

解：∵cosα=，0＜α＜，

∴sinα=

∵sinα=，0＜α＜，0＜β＜，sin（α+β）=，

sinα＞sin（α+β）

∴

∴sinβ=sin[（α+β）-α]

=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

=

又∵0＜β＜，

∴．

∴角β的值为．

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题型：单选题

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单选题

y=sin（2x-）-sin2x的一个单调递增区间是（　　）

A[-，]

B[，π]

C[π，π]

D[，]

正确答案

B

解析

解：化简可得y=sin（2x-）-sin2x

=sin2x-cos2x-sin2x

=-（cos2x+sin2x）

=-sin（2x+），

由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+，

由于k∈Z，故当k=0时，函数的一个单调递增区间为[，]

故选：B

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题型：简答题

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简答题

已知，，．

（1）求sin（α-β）的值；

（2）求tan（2α-β）的值．

正确答案

解：（1）由，，得，

由，，得，…（2分）

故sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-1．…（3分）

（2）由（1）得，，

故，．…（7分）

解析

解：（1）由，，得，

由，，得，…（2分）

故sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-1．…（3分）

（2）由（1）得，，

故，．…（7分）

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题型：填空题

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填空题

已知∠AOB=60°，∠AOB内一点P到两边OA、OB的距离之比为1：2，则sin∠AOP=______．

正确答案

解析

解：如图：令∠AOP=α，∠BOP=β，则，

∵∠AOB内一点P到两边OA、OB的距离之比为1：2，

∴，即sinβ=2sinα，

∵，

∴sinβ=sin（），

∴2sinα=sin（）=，

∴cosα=sinα．代入sin2α+cos2α=1，解得sin2α=，又α是锐角，

∴

∴sin∠AOP=

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

sin347°cos148°+sin32°cos13°=______．

正确答案

解析

解：sin347°cos148°+sin32°cos13°

=sin（360°-13°）cos（180°-32°）+sin32°cos13°

=sin13°cos32°+sin32°cos13°

=sin（13°+32°）

=sin45°

=；

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

cos24°cos36°-sin24°cos54°=（　　）

Acos12°

Bsin12°

C

D

正确答案

C

解析

解：cos24°cos36°-sin24°cos54°=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos（24°+36°）=cos60°=，

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

函数f（θ）=12cosθ+5sinθ（θ∈[0，2π））在θ=θ0处取得最小值，则点M（cosθ0，sinθ0）关于坐标原点对称的点坐标是______．

正确答案

（，）

解析

解：∵f（θ）=12cosθ+5sinθ=13（cosθ+sinθ）

=13sin（θ+φ），其中sinφ=，cosφ=，

∴当θ+φ=时，函数f（θ）取最小值-13，

此时θ=θ0=-φ，故cosθ0=cos（-φ）=-sinφ=-，

sinθ0=sin（-φ）=-cosφ=-，即M（-，-），

由对称性可得所求点的坐标为（，），

故答案为：（，）．

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题型：填空题

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填空题

已知α∈（，π），sinα=，则sin（α+）=______．

正确答案

解析

解：∵α∈（，π），sinα=，

∴cosα=-，

∴sin（α+）=（sinα+cosα）=-

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，角A、B、C成等差数列，sin（A-C）=cosAsinC，则=______．

正确答案

解析

解：画出图形，如图所示，

△ABC中，A+C=2B，

∴B=；

∴A=-C，

∴cosA=cos（-C）=coscosC+sinsinC

=-cosC+sinC；

又∵sin（A-C）=cosAsinC，

∴sinAcosC-cosAsinC=cosAsinC，

即sinAcosC=2cosAsinC；

∴=2×==tanC-1，

且tanA=2tanC，

∴==2tanC，

解得tanC=，或tanC=；

当tanC=时，

==×-1=；

tanC=时，

==×-1=＜0，舍去；

∴=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知为第二象限角，则的值等于______．

正确答案

解析

解：∵已知为第二象限角，∴sinθ=，

=sinθcos+cosθsin=，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

A为△ABC的内角，且A为锐角，则sinA+cosA的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：sinA+cosA=

=（）

=sin（A+），

又A为锐角，所以A+∈（，），则sin（A+）∈（，1]，

故∈（1，]，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+1-2sin2x，x∈R，将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求：

（Ⅰ）函数g（x）的解析式和单调递增区间；

（Ⅱ）函数g（x）在区间[-，-]上的最值．

正确答案

解：（Ⅰ）把函数f（x）=2sinxcosx+1-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），x∈R的图象上各点的纵坐标保持不变，

横坐标缩短到原来的，可得y=2sin（4x+），x∈R的图象；

再把所得到的图象再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin[4（x+）+]=2sin（4x+）=2cos（4x+）的图象．

即g（x）=2cos（4x+）．

令2kπ-π≤4x+≤2kπ，求得-≤x≤-，可得g（x）的增区间为[-，-]，k∈Z．

（Ⅱ）由x∈[-，-]，可得4x+∈[-，]，故当4x+=-时，g（x）=2cos（4x+）取得最小值为1；

当4x+=0时，g（x）=2cos（4x+）取得最大值为2．

解析

解：（Ⅰ）把函数f（x）=2sinxcosx+1-2sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），x∈R的图象上各点的纵坐标保持不变，

横坐标缩短到原来的，可得y=2sin（4x+），x∈R的图象；

再把所得到的图象再向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）=2sin[4（x+）+]=2sin（4x+）=2cos（4x+）的图象．

即g（x）=2cos（4x+）．

令2kπ-π≤4x+≤2kπ，求得-≤x≤-，可得g（x）的增区间为[-，-]，k∈Z．

（Ⅱ）由x∈[-，-]，可得4x+∈[-，]，故当4x+=-时，g（x）=2cos（4x+）取得最小值为1；

当4x+=0时，g（x）=2cos（4x+）取得最大值为2．

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题型：单选题

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单选题

已知，则的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵，

∴，

∴．

故选C

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）=sin2x+sinxcosx．则 f（）=______．

正确答案

解析

解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx==

∴f（）===111

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知，则sin2x的值为______．

正确答案

解析

解：由得，

，两边平方得，，

解得sin2x=，

故答案为：．

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