三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知，，则=______．

正确答案

解析

解：已知，

，，，

∴，，

∴=

=

故答案为：-

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题型：单选题

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单选题

A为△ABC的内角，则sinA+cosA的取值范围是（　　）

A（，2）

B（-，）

C（-1，]

D[-，]

正确答案

C

解析

解：∵∠A为三角形的内角，

∴0＜A＜π，

又sinA+cosA=sin（A+）

∴＜A+＜

∴-＜sin（A+）≤1，

∴-1＜sin（A）≤，即-1＜sinA+cosA≤．

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知tanα=，sinβ=，α，β均为锐角，求sinα及α+2β的值．

正确答案

解：∵α，β均为锐角，

∴sin2α==，

则sinα==，

则cosα=，

∵sinβ=，∴cosβ=，

则sin2β=2sinβcosβ=2××=，cos2β=2cos2β-1=，

则cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=，

∵sin2β∈（0，1），cos2β∈（0，1），

∴2β∈（0，），

则α+2β∈（0，π），

则α+2β=．

解析

解：∵α，β均为锐角，

∴sin2α==，

则sinα==，

则cosα=，

∵sinβ=，∴cosβ=，

则sin2β=2sinβcosβ=2××=，cos2β=2cos2β-1=，

则cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=，

∵sin2β∈（0，1），cos2β∈（0，1），

∴2β∈（0，），

则α+2β∈（0，π），

则α+2β=．

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题型：填空题

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填空题

函数的值域是______．

正确答案

[-，2]

解析

解：∵sinx+cosx

=2•（sinx++cosx）

=2•（cossinx+sincosx）

=2sin（x+）

又∵x∈[，π]

∴π≤x+≤π

∴-≤2sin（x+）≤2

∴y=sinx+cosx的值域为[-，2]

故答案为：[-，2]

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题型：填空题

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填空题

高一数学课本中，两角和的正弦公式是在确定了两角差的余弦公式后推导的．即sin（α+β）=______=sinαcosβ+cosαsinβ．（填入推导的步骤）

正确答案

解析

解：∵sin（α+β）==sinαcosβ+cosα sinβ，

故有 sin（α+β）=sinαcosβ+cosα sinβ 成立．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

化简下列各式：

（1）sin（x+）+2sin（x-）-cos（-x）；

（2）-2cos（α+β）．

正确答案

解：（1）sin（x+）+2sin（x-）-cos（-x）

=+2（）（）

=

==0；

（2）-2cos（α+β）=

=

==．

解析

解：（1）sin（x+）+2sin（x-）-cos（-x）

=+2（）（）

=

==0；

（2）-2cos（α+β）=

=

==．

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题型：单选题

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单选题

函数的一个单调递增区间是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：=sin2x-cos2x-sin2x=-sin2x-cos2x=-sin（2x+）

函数y=sin（2x+）的一个单调递减区间为y=-sin（2x+）的增区间

令2kπ+≤2x+≤+2kπ （k∈Z）解得：kπ+≤x≤+kπ，（k∈Z）

取k=0，得≤x≤

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

把下列各式化成：Asin（α+φ），A＞0的形式．

（1）sinα-cosα=______；

（2）sinα+cosα=______；

（3）5sinα-12cosα=Asin（α+φ），A＞0，则tanφ=______．

正确答案

2sin（α-）

2sin（α+）

-

解析

解：（1）sinα-cosα=2（sinα-cosα）=2sin（α-），

故答案为：2sin（α-）．

（2）sinα+cosα=2sin（α+），

故答案为：2sin（α+）．

（3）5sinα-12cosα=13sin（sinα-cosα）=13sin（α+φ）=Asin（α+φ），A＞0，则tanφ=，

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

（2015秋•如东县期末）若α，β∈（0，），cos（α-）=，sin（-β）=-，则cos（α+β）的值等于______．

正确答案

-

解析

解：∵α，β∈（0，），cos（α-）=，sin（-β）=-，

∴α-=±，-β=-，∴α=β= 或α+β=0（舍去）．

∴cos（α+β）=-，

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

已知α，β是锐角，且α≠45°，若cos（α-β）=sin（α+β），则tanβ=______．

正确答案

1

解析

解：∵cos（α-β）=sin（α+β），

∴cosαcosβ+sinαsinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，

∴（sinα-cosα）sinβ=（sinα-cosα）cosβ，

∴（sinα-cosα）（sinβ-cosβ）=0，

∵α，β是锐角，且α≠45°，∴sinα-cosα≠0，

∴sinβ-cosβ=0，即sinβ=cosβ，

∴tanβ==1

故答案为：1

1

题型：单选题

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单选题

如图，圆O过正方体六条棱的中点Ai（i=1，2，3，4，5，6），此圆被正方体六条棱的中点分成六段弧，记弧AiAi+1在圆O中所对的圆心角为αi（i=1，2，3，4，5），弧A6A1所对的圆心角为α6，则等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵如图A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A1∴α1=α2=α3=α4=α5=α6==60°

∴

=sincos-cossin

=sin（）

=-sin15°

又∵sin15°=sin（60°-45°）

=sin60°cos45°-cos60°sin45°

=×-×

=

∴=

故选B．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在区间[-，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）

∴T=．

（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x+∈[-，]

∴-1≤2sin（2x+）≤2

∴函数f（x）在区间[-，]上的最小值为-1，最大值为2．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）

∴T=．

（Ⅱ）∵x∈[-，]，∴2x+∈[-，]

∴-1≤2sin（2x+）≤2

∴函数f（x）在区间[-，]上的最小值为-1，最大值为2．

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题型：填空题

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填空题

已知=______．

正确答案

-

解析

解：∵

∴，可得

因此，sinαcosα=-

∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，

∵，可得sinα+cosα＜0

∴sinα+cosα=-，

可得sin（α+）=（sinα+cosα）=×（-）=-

故答案为：-

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题型：单选题

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单选题

已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是（　　）

A-

B

C

D-

正确答案

D

解析

解：sin（+α）+sinα=，

可得cosαsinα+sinα=，

即cosα+sinα=，

sin（α+）=-sin（α+）=-sinα-cosα=-（cosα+sinα）=-=-．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

在（0，2π）内使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（　　）

A（，）∪（π，）

B（，π）

C（，π）∪（，）

D（，）

正确答案

D

解析

解：∵sinx＞cosx，

∴sin（x-）＞0，

∴2kπ＜x-＜2kπ+π （k∈Z），

∵在（0，2π）内，

∴x∈（，），

故选D．

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