三角函数_章节学习

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题型：单选题

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单选题

若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x+y的取值范围是（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵x2+y2+xy=1⇔xy=（x+y）2-1，

又∵xy≤，

∴（x+y）2-1≤，令x+y=t，

则4t2-4≤t2，

∴-≤t≤，即-≤x+y≤，

∴x+y的取值范围是[-，]．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

已知=______．

正确答案

解析

解：∵0＜α＜

∴＜＜．

∴cos（）==．

∴sinα=sin[（）-]

=sin（）cos-cos（）sin

=-

=．

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

sin380°cos10°-cos160°cos80°=（　　）

A-

B

C-

D

正确答案

D

解析

解：sin380°cos10°-cos160°cos80°

=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°

=．

故选：D．

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题型：简答题

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简答题

已知cosβ=-，sin（α+β）=，α∈（0，），β∈（，π）．

（1）求cos2β的值；

（2）求sinα的值．

正确答案

解：（1）∵cosβ=-，

∴cos2β=2cos2β-1=-；

（2）∵cosβ=-，β∈（，π），∴sinβ==，

∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），

又sin（α+β）=，∴cos（α+β）=-=-，

则sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×（-）+×=．

解析

解：（1）∵cosβ=-，

∴cos2β=2cos2β-1=-；

（2）∵cosβ=-，β∈（，π），∴sinβ==，

∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈（，），

又sin（α+β）=，∴cos（α+β）=-=-，

则sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=×（-）+×=．

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题型：单选题

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单选题

函数f（x）=cos2x-sin2x的最小值为（　　）

A-2

B-

C-1

D0

正确答案

B

解析

解：函数f（x）=cos2x-sin2x=（cos2x-sin2x）=cos（+2x），

故当 +2x=2kπ+π，k∈z时，函数f（x）取得最小值为-，

故选B．

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题型：单选题

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单选题

设函数，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由题意得，

f（x）=2[sin（）-cos（）]=2sin（-），

∵图象关于y轴对称，∴θ-=kπ+，k∈Z，

又∵|θ|＜，∴当k=-1时，θ=满足题意，

∴f（x）=2sin（--）=2sin（-）=-2cos，

由2kπ-π≤≤2kπ可得4kπ-2π≤x≤4kπ，

∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z，

当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为[-2π，0]，

当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为[2π，4π]，

所以A、B、D不正确；C正确，

故选：C．

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题型：填空题

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填空题

若，a是第三象限的角，则=______．

正确答案

-

解析

解：∵α是第三象限的角，sinα=-，

∴cosα=-，

∴sin（α+）=sinαcos+sincosα

=（-）×+×（-）

=-．

故答案为：-．

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题型：简答题

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简答题

如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．

（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．

正确答案

解：（1）设MN交AD交于Q点

∵∠MOD=30°，

∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）

S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）

（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ

∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）

=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）

令sinθ+cosθ=t∈[1，]，

∴S△PMN=（t+1+）

θ=，当t=，

∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）

解析

解：（1）设MN交AD交于Q点

∵∠MOD=30°，

∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）

S△PMN=MN•AQ=××（1+）=…（6分）

（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ

∴S△PMN=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）

=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）

令sinθ+cosθ=t∈[1，]，

∴S△PMN=（t+1+）

θ=，当t=，

∴S△PMN的最大值为．…..…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=，其中，，且w为正实数．

（1）求f（x）的最小值；

（2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+4π]的图象与直线2y+1=0有且仅有一个交点，试判断函数f（x+）的奇偶性，并说明理由．

正确答案

解：（1）∵，=（siωx+cosωx，1），

函数 f（x）==cosωx（sinωx+cosωx）+0=sinωx•cosωx+cos2ωx

=sin2ωx+=sin（2ωx+）+．

故函数 f（x）的最小值为-1+=-．

（2）由题意可得，函数的周期为4π，故=4π，ω=．

∴f（x+）=sin（x++）+=cos（）+=cos（-）+，x∈R，

故函数f（x+）为偶函数．

解析

解：（1）∵，=（siωx+cosωx，1），

函数 f（x）==cosωx（sinωx+cosωx）+0=sinωx•cosωx+cos2ωx

=sin2ωx+=sin（2ωx+）+．

故函数 f（x）的最小值为-1+=-．

（2）由题意可得，函数的周期为4π，故=4π，ω=．

∴f（x+）=sin（x++）+=cos（）+=cos（-）+，x∈R，

故函数f（x+）为偶函数．

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题型：简答题

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简答题

已知向量，且．

（1）求tanA的值；

（2）求函数的最大值和单调递增区间．

正确答案

解：（1）∵向量，且．

∴sinA-2cosA=0，

∵cosA≠0，∴tanA=2．

（2）函数=

=

=．

∴当，即，（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4；

由，解得（k∈Z）．

∴函数f（x）的单调递增区间为．

解析

解：（1）∵向量，且．

∴sinA-2cosA=0，

∵cosA≠0，∴tanA=2．

（2）函数=

=

=．

∴当，即，（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4；

由，解得（k∈Z）．

∴函数f（x）的单调递增区间为．

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题型：单选题

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单选题

已知锐角α、β满足，则α+β等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：α，β为锐角且足，所以sinβ= cosα=，

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

α+β的值等于

故选C．

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题型：单选题

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单选题

下列关于函数f（x）=cos2x+tan（x-）的图象的叙述正确的是（　　）

A关于原点对称

B关于y轴对称

C关于直线x=对称

D关于点（，0）对称

正确答案

D

解析

解：由2x=kπ+可得x=+，k∈Z

∴当k=0时，可得y=cos2x的图象关于点（，0）对称，

同理由x-=可得x=+，k∈Z

∴可得y=tan（x-）的图象关于点（，0）对称，

∴函数f（x）=cos2x+tan（x-）的图象关于点（，0）对称

故选：D

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题型：简答题

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简答题

已知cos（α+）=（α为锐角），则sinα=______．

正确答案

解：∵cos（α+）=（α为锐角），∴α+为锐角，∴sin（α+）=，

∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin

=-=，

故答案为：．

解析

解：∵cos（α+）=（α为锐角），∴α+为锐角，∴sin（α+）=，

∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin

=-=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

正确答案

解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（ sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x-1+1

=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，

故函数的最小正周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得 kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

解析

解：函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（ sin2x+cos2x）+sin2x+2cos2x-1+1

=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，

故函数的最小正周期为=π．

令2kπ-≤2x+≤2kπ+，求得 kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

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题型：填空题

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填空题

已知，若，则sin（α-β）的值为______．

正确答案

解析

解：∵α，β∈（，），

∴＜α+＜π，-＜β-＜0，

又sin（α+）=，cos（β-）=，

∴cos（α+）=-，sin（β-）=-．

∴sin（α-β）=-sin[（α+）-（β-）]

=-[sin（α+）•cos（β-）-cos（α+）•sin（β-）]

=-[×-（-）×（-）]

=．

故答案为：．

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