三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知sin（θ+）=，θ为钝角，则cosθ=______．

正确答案

-

解析

解：∵sin（θ+）=，

∴-------①

两边平方得：2+4sinθcosθ=

∴sinθcosθ=-------------②

由①②联立解得：cosθ=或cosθ=-．

∵θ为钝角，∴cosθ=-．

故答案为：-．

1

题型：简答题

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简答题

计算：

（1）；

（2）．

正确答案

解：（1）原式====1．

（2）原式===-1．

解析

解：（1）原式====1．

（2）原式===-1．

1

题型：简答题

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简答题

已知且，求sinα的值．

正确答案

解：由于，则，∵，∴，

∴

=．

解析

解：由于，则，∵，∴，

∴

=．

1

题型：简答题

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简答题

设向量=（cosα，1），=（sinα，2），且∥，其中．

（Ⅰ）求sinα；

（Ⅱ）若，，求cosβ．

正确答案

解：（Ⅰ）∵向量=（cosα，1），=（sinα，2），且∥，

∴2cosα=sinα，

又sin2α+cos2α=1，

∴sin2α+sin2α=1，

∴sin2α=，

∵α∈（0，），

∴sinα＞0，

则sinα=；

（Ⅱ）∵α∈（0，），β∈（0，），

∴-＜α-β＜，

∵sin（α-β）=，

∴cos（α-β）=，

∵sinα=，cosα=，

则cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=×+×=．

解析

解：（Ⅰ）∵向量=（cosα，1），=（sinα，2），且∥，

∴2cosα=sinα，

又sin2α+cos2α=1，

∴sin2α+sin2α=1，

∴sin2α=，

∵α∈（0，），

∴sinα＞0，

则sinα=；

（Ⅱ）∵α∈（0，），β∈（0，），

∴-＜α-β＜，

∵sin（α-β）=，

∴cos（α-β）=，

∵sinα=，cosα=，

则cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=×+×=．

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题型：单选题

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单选题

设a=（sin56°-cos56°），b=cos50°cos128°+cos40°cos38°，c=，d=（cos80°-2cos250°+1），则a，b，c，d的大小关系为（　　）

Aa＞b＞d＞c

Bb＞a＞d＞c

Cd＞a＞b＞c

Dc＞a＞d＞b

正确答案

B

解析

解：a=sin（56°-45°）=sin11°，

b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin（52°-40°）=sin12°，

c==cos81°=sin9°，

d=（2cos240°-2sin240°）=cos80°=sin10°，

∴b＞a＞d＞C、

故选B

1

题型：填空题

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填空题

若，α是第三象限的角，则=______．

正确答案

解析

解：∵，α是第三象限的角，

∴sinα==-，

因此，=sinαcos+cosαsin=-×+（-）×=

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

若是＞0）图象的一条对称轴，当ω取最小值时（　　）

Af（x）在上单调递增

Bf（x）在上单调递减

Cf（x）在上单调递减

Df（x）在上单调递增

正确答案

D

解析

解：∵f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），

∵x=是f（x）的图象的一条对称轴，

∴ω+=kπ+（k∈Z），

∴ω=6k+2，又ω＞0，

∴ωmin=2．

∴f（x）=2sin（2x+），

∴当2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）时单调递增，

当2kπ+≤2x+≤2kπ+即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）时单调递减，

显然，当k=0时，f（x）在[-，]上单调递增，在[，]上单调递减，故D正确，A，B，C均错误．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x

=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，

函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）由已知，可得 sin（2A+）=，

因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，

因此，2A+=，解得A=．

由正弦定理，得b=，…（10分）

由A=，由B=，可得 sinC=，…（12分）

∴S=ab•sinC==．

解析

解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x

=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．

令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，

函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）由已知，可得 sin（2A+）=，

因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，

因此，2A+=，解得A=．

由正弦定理，得b=，…（10分）

由A=，由B=，可得 sinC=，…（12分）

∴S=ab•sinC==．

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题型：简答题

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简答题

已知，在△ABC中2sin2=sinA，sin（B-C）=2cosBsinC，

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）求．

正确答案

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sin2=sinA，…2分

∴1-cosA=sinA，

∴2sin（A+）=1，

∴A+=，∴A=…6分

（Ⅱ）∵sin（B-C）=2cosBsinC，

∴sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，

∴sinBcosC+cosBsinC=4cosBsinC，即sin（B+C）=4cosBsinC，

∵A+B+C=π，

∴sinA=4cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=4××c，

即2b2-2c2=a2=b2+c2-2bccos=b2+c2+bc，…10分

解得：=…12分

解析

解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sin2=sinA，…2分

∴1-cosA=sinA，

∴2sin（A+）=1，

∴A+=，∴A=…6分

（Ⅱ）∵sin（B-C）=2cosBsinC，

∴sinBcosC-cosBsinC=2cosBsinC，

∴sinBcosC+cosBsinC=4cosBsinC，即sin（B+C）=4cosBsinC，

∵A+B+C=π，

∴sinA=4cosBsinC，由正弦定理、余弦定理得a=4××c，

即2b2-2c2=a2=b2+c2-2bccos=b2+c2+bc，…10分

解得：=…12分

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题型：填空题

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填空题

已知，则cosα=______．

正确答案

解析

解：∵已知，

∴，

，又，

所以．

∴=•cos+sin•sin=，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

设f（x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0若f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立，则

①f（）=0．

②|f（）|＜|f（）|．

③f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

④f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．

⑤存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交．

以上结论正确的是______写出正确结论的编号）．

正确答案

①，③

解析

解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=

∵

∴（k为整数）

∴

∴=

对于=0，故①对

对于②，，故②错

对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数

对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对

对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，故∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错

故答案为①③

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x-）-1，x∈R．

（1）若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，求a的最小值；

（2）若函数g（x）=f（x）-log2m在[0，]上有零点，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x-）-1

=sin（2x+）+cos（2x-）=cos2x+sin2x

=2sin（2x+），

由2x+=+kπ，解得x=+，

即函数的对称轴为x=+，

∵y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，

∴当k=0时，a有最小值．

（2）若函数g（x）=f（x）-log2m在[0，]上有零点，

即g（x）=f（x）-log2m=0在[0，]上有解，

即f（x）=log2m在[0，]上有解，

当0≤x≤，≤2x+≤，

即-≤sin（2x+）≤1，-1≤2sin（2x+）≤2，

由-1≤log2m≤2，

解得≤m≤4，

故实数m的取值范围是[，4]．

解析

解：（1）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x-）-1

=sin（2x+）+cos（2x-）=cos2x+sin2x

=2sin（2x+），

由2x+=+kπ，解得x=+，

即函数的对称轴为x=+，

∵y=f（x）的图象关于直线x=a（a＞0）对称，

∴当k=0时，a有最小值．

（2）若函数g（x）=f（x）-log2m在[0，]上有零点，

即g（x）=f（x）-log2m=0在[0，]上有解，

即f（x）=log2m在[0，]上有解，

当0≤x≤，≤2x+≤，

即-≤sin（2x+）≤1，-1≤2sin（2x+）≤2，

由-1≤log2m≤2，

解得≤m≤4，

故实数m的取值范围是[，4]．

1

题型：填空题

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填空题

cos42°sin78°+cos48°sin12°______．

正确答案

解析

解：∵42°+48°=90°，78°+12°=90°，

∴cos42°sin78°+cos48°sin12°

=cos42°sin78°+sin42°cos78°

=sin（78°+42°）

=sin120°

=．

故答案为：．

1

题型：单选题

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单选题

sin75°cos30°-sin15°sin150°的值等于（　　）

A1

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由三角函数公式化简可得sin75°cos30°-sin15°sin150°

=sin（90°-15°）cos30°-sin15°sin（180°-30°）

=cos15°cos30°-sin15°sin30°

=cos（15°+30°）=cos45°=，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知函数g（x）=sinx-cosx，且f（x）=g′（x）（g（x）+cosx）

（Ⅰ）当时，f（x）函数的值域；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，求角C．

正确答案

解：（Ⅰ）由函数g（x）=sinx-cosx，得到g′（x）=cosx+sinx，

代入f（x）得：，（3分）

∵，

∴2x，

∴0≤，

∴f（x）的值域；（7分）

（Ⅱ）∵，

∴，

又∵0＜A＜π，∴，（10分）

∵，

∴

∴．（14分）

解析

解：（Ⅰ）由函数g（x）=sinx-cosx，得到g′（x）=cosx+sinx，

代入f（x）得：，（3分）

∵，

∴2x，

∴0≤，

∴f（x）的值域；（7分）

（Ⅱ）∵，

∴，

又∵0＜A＜π，∴，（10分）

∵，

∴

∴．（14分）

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