三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

设函数f（x）=2sin（x+）（-2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f（x）的图象交于另外两点B，C．O是坐标原点，则（+•=______．

正确答案

32

解析

解：做出函数f（x）=2sin（x+）在-2＜x＜10上的图象如图：

由图象可知：图象关于点A对称，所以点A是点B与点C的中点

∴+=2

∴（+•=2||2=2×42=32．

故答案为32．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．

（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；

（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．

正确答案

解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a

=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，

∵x∈[0，]，

∴2x+∈[，]，

∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，解得a=2，

∴f（x）=2sin（2x+）+3，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-）+3，

由g（x）=4可得sin（4x-）=，

∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，

解得x=+或x=+，（k∈Z），

∵x∈[0，]，

∴x=或x=，

∴所有根之和为+=．

解析

解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a

=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，

∵x∈[0，]，

∴2x+∈[，]，

∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，解得a=2，

∴f（x）=2sin（2x+）+3，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，

∴f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-）+3，

由g（x）=4可得sin（4x-）=，

∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+，

解得x=+或x=+，（k∈Z），

∵x∈[0，]，

∴x=或x=，

∴所有根之和为+=．

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题型：简答题

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简答题

已知tanα=-3，且α是第二象限的角，

（1）求sinα，cosα的值；

（2）求sin（2α-）的值．

正确答案

解：（1）∵tanα=-3，∴sinα=-3cosα，

又sin2α+cos2α=1，

解得，或

∵α是第二象限的角，∴

（2）由（1）可得sin2α=2sinαcosα=，

cos2α=cos2α-sin2α=，

∴sin（2α-）=sin2α-cos2α

==．

解析

解：（1）∵tanα=-3，∴sinα=-3cosα，

又sin2α+cos2α=1，

解得，或

∵α是第二象限的角，∴

（2）由（1）可得sin2α=2sinαcosα=，

cos2α=cos2α-sin2α=，

∴sin（2α-）=sin2α-cos2α

==．

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题型：填空题

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填空题

函数y=sinx-cosx的最小正周期是______．

正确答案

2π

解析

解：函数y=sinx-cosx=sin（x-），

故它的最小正周期等于 =2π，

故答案为 2π．

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题型：单选题

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单选题

若，α是第三象限的角，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：∵α是第三象限的角

∴sinα=-=-，所以sin（α+）=sinαcos+cosαsin=-=-．

故选A

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，三内角为A，B，C，且

（I）求角A的大小；

（II）求sinBsinC的取值范围．

正确答案

解：（I）据题意，得sinA（sinB+cosB）=sin（A+B）

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB

即sinAsinB=cosAsinB

∵sinB≠0

∴sinA=cosA

解得：A=

（II）sinBsinC=sinBsin（-B）=sinBcosB+sin2B=sin2B-cos2B+=sin（2B-）+

∵0＜B＜∴-＜2B-＜

∴sinBsinC的取值范围是（0，]

解析

解：（I）据题意，得sinA（sinB+cosB）=sin（A+B）

∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB

即sinAsinB=cosAsinB

∵sinB≠0

∴sinA=cosA

解得：A=

（II）sinBsinC=sinBsin（-B）=sinBcosB+sin2B=sin2B-cos2B+=sin（2B-）+

∵0＜B＜∴-＜2B-＜

∴sinBsinC的取值范围是（0，]

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题型：单选题

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单选题

已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若|MN|=，则线段MN的中点纵坐标为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意可得|sina-cosa|=，

两边平方得1-sin2a=，

∴sin2a=．

设线段MN的中点纵坐标为b＞0，

则b=，

∴b2==，

∴b=．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

sin42°cos18°+cos42°sin18°=（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由两角和的正弦公式可得：

sin42°cos18°+cos42°sin18°=sin（42°+18°）=sin60°=

故选：B

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题型：单选题

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单选题

若函数f（x）=sin2x-cos2x，则将f（x）向右平移个单位所得曲线的一条对称轴方程为（　　）

Ax=

Bx=

Cx=

Dx=π

正确答案

A

解析

解：∵函数f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-），

则将f（x）向右平移个单位所得图象对应的函数的解析式为 y=2sin[2（x-）-]=2sin（2x-），

则由2x-=kπ+，k∈Z，求得x=+，故所得图象的一条对称轴方程为x=，

故选：A．

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题型：单选题

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单选题

要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x-cos2x的图象（　　）

A向右平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移个单位

D向左平移个单位

正确答案

C

解析

解：f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）．

根据左加右减的原则，只要将f（x）=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位

即可得到函数y=2sin2x的图象，显然函数y=2sin2x为奇函数，

故要得到一个奇函数，只需将函数f（x）=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=cosωx（cosωx+sinωx），其中ω＞0，且函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离为．

（1）求ω的值；

（2）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值及相应的x值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=cosωx（cosωx+sinωx）

=+

=+sin（2ωx+），

由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，

∴3π=，

∴ω=；

（2）由（1）知f（x）=+sin（x+），

∵x∈[π，]，

∴x+∈[，]，

∴当x+=，即x=π时，f（x）取得最大值1，

当x+=，即x=2π时，f（x）取得最小值．

解析

解：（1）∵f（x）=cosωx（cosωx+sinωx）

=+

=+sin（2ωx+），

由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，

∴3π=，

∴ω=；

（2）由（1）知f（x）=+sin（x+），

∵x∈[π，]，

∴x+∈[，]，

∴当x+=，即x=π时，f（x）取得最大值1，

当x+=，即x=2π时，f（x）取得最小值．

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题型：填空题

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填空题

若α为锐角，且sin（α-）=，则sinα的值为______．

正确答案

解析

解：∵α为锐角，∴α-∈（，），

又∵sin（α-）=，

∴cos（α-）==，

∴sinα=sin[（α-）+]

=sin（α-）cos+cos（α-）sin

==

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

等式sinα+cosα=有意义，则m的取值范围是（　　）

A（-1，）

B[-1，]

C[-1，）

D[-，-1]

正确答案

B

解析

解：∵sinα+cosα=2（sinα+cosα）=2∈[-2，2]，

∴要使等式sinα+cosα=有意义，

则-2≤≤2，

即||≤2，

∴|2m-3|≤|m-4|，

平方得3m2-4m-7≤0，

即（m+1）（3m-7）≤0，

∴-1，

故m的取值范围是[-1，]，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

已知α是钝角，cosα=-，则sin（-α）=______．

正确答案

-

解析

解：由于α是钝角，cosα=-，

则sinα==，

则sin（-α）=sincosα-cossinα

=（--）=-．

故答案为：-

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题型：简答题

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简答题

已知角α为锐角．

（1）若，求的值；

（2）若，，其中，求sinβ的值．

正确答案

解：（1）∵α为锐角且sinα=，

∴cosα=，

又sin（α-）=（sinα-cosα）=-；

（2）由sin（α+β）=，

sin（α-β）=-展开相加得：

2sinαcosβ=0，α∈（0，），β∈[0，]，

∴cosβ=0，

∴sinβ=1．

解析

解：（1）∵α为锐角且sinα=，

∴cosα=，

又sin（α-）=（sinα-cosα）=-；

（2）由sin（α+β）=，

sin（α-β）=-展开相加得：

2sinαcosβ=0，α∈（0，），β∈[0，]，

∴cosβ=0，

∴sinβ=1．

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