三角函数_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

定义运算，如，已知，α-β=π，则=（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题中的定义可知，则

=

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

已知sinα=，sin（α-β）=，0＜β＜α＜，求：

（1）sin（2α-β）的值；

（2）β的值．

正确答案

解：（1）∵0＜β＜α＜，∴0＜α-β＜，

∵sinα=，sin（α-β）=，

∴cosα=，cos（α-β）=，

∴sin（2α-β）=sin[α+（α-β）]

=sinαcos（α-β）+cosαsin（α-β）

=+=；

（2）cosβ=cos[α-（α-β）]

=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

=+=，

∵0＜β＜，∴β=

解析

解：（1）∵0＜β＜α＜，∴0＜α-β＜，

∵sinα=，sin（α-β）=，

∴cosα=，cos（α-β）=，

∴sin（2α-β）=sin[α+（α-β）]

=sinαcos（α-β）+cosαsin（α-β）

=+=；

（2）cosβ=cos[α-（α-β）]

=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

=+=，

∵0＜β＜，∴β=

1

题型：填空题

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填空题

sin80°cos35°-sin10°cos55°=______．

正确答案

解析

解：sin80°cos35°-sin10°cos55°

=sin（90°-10°）cos35°-sin10°cos（90°-35°）

=cos10°cos35°-sin10°sin35°

=cos（10°+35°）

=cos45°

=．

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

定义在R上的函数的最大值是______．

正确答案

2

解析

解：f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+），

∵-1≤sin（x+）≤1，

∴-2≤2sin（x+）≤2，

则f（x）的最大值为2．

故答案为：2

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin2x+cos2x．

（1）求函数f（x）最大值和单调增区间；

（2）已知△ABC外接圆半径R=，f（-）+f（+）=4sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求a+b的最小值．

正确答案

解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∴f（x）max=2，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）依题意知2sin（A-+）+2sin（B++）=2sinA+2cosB=4sinAsinB，

∴+=2，

∵△ABC外接圆半径R=

∴=，sinB=，

∴+=2

∴a+b=ab，

∵ab≤，

∴，求得a+b≥2，a=b时取等号．

即a+b的最小值为2．

解析

解：（1）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），

∴f（x）max=2，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）．

（2）依题意知2sin（A-+）+2sin（B++）=2sinA+2cosB=4sinAsinB，

∴+=2，

∵△ABC外接圆半径R=

∴=，sinB=，

∴+=2

∴a+b=ab，

∵ab≤，

∴，求得a+b≥2，a=b时取等号．

即a+b的最小值为2．

1

题型：单选题

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单选题

若0＜α＜β＜，a=sin（），b=sin（），则（　　）

Aa＜b

Ba＞b

Cab＜1

Dab＞

正确答案

A

解析

解：∵0＜α＜β＜，∴＜α+＜β+＜．

∵正弦函数y=sin x在上递增，

∴sin（）＜sin（）．

∴sin（）＜sin（），

即a＜b．

故选A．

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，已知sinC=2sin（B+C）cosB，那么△ABC一定是（　　）

A等腰直角三角形

B等腰三角形

C直角三角形

D等边三角形

正确答案

B

解析

解：∵sinC=2sin（B+C）cosB，

∴sin（A+B）=2sinAcosB，

∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，

∴sinAcosB-cosAsinB=0

∴sin（A-B）=0

∴A-B=0，即A=B

故△ABC一定是等腰三角形，

故应选B．

1

题型：填空题

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填空题

已知α，β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=-，则sinβ=______．

正确答案

解析

解：∵α，β∈（0，），sinα=，cos（α+β）=-，

∴cosα==，sin（α+β）==

∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα

=-=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知cos（-α）=，则sin（α+）=______．

正确答案

解析

解：∵知cos（-α）=，

∴sin（α+）=sin[-（-α）]=cos（-α）=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

计算下列各题

（1）sin420°•cos750°+sin150°•cos（-600）；

（2）；

（3）．

正确答案

解：（1）原式=sin60°•cos30°+sin30°•cos60°=sin（300+600）=sin90°=1．

（2）原式=2lg5+2lg2+lg5•（2lg2+lg5）+lg2•lg2=2+（lg5）2+2lg2•lg5+（lg2）2

=2+（lg5+lg2）2=3．

（3）原式===2•3=6．

解析

解：（1）原式=sin60°•cos30°+sin30°•cos60°=sin（300+600）=sin90°=1．

（2）原式=2lg5+2lg2+lg5•（2lg2+lg5）+lg2•lg2=2+（lg5）2+2lg2•lg5+（lg2）2

=2+（lg5+lg2）2=3．

（3）原式===2•3=6．

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题型：填空题

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填空题

已知sin（+θ）=，θ为锐角，则sinθ=______．

正确答案

或

解析

解：∵θ为锐角，∴＜+θ＜，

又∵sin（+θ）=，

∴cos（+θ）=，或cos（+θ）=-，

∴sinθ=sin[（+θ）-]

=sin（+θ）-cos（+θ）

当cos（+θ）=时，上式==，

当cos（+θ）=-时，上式==，

故答案为：或

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx-（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．

（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；

（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx-=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）

∵f（x）的最小正周期为T=π

∴，ω=1，

∵f（x）的最大值为2，

∴=2，

即a=±1，

∵a＞0，∴a=1．

即f（x）=2sin（2x+）．

由2x+=+kπ，

即x=+，（k∈Z）．

（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，

即sin（2α+）=，

则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=-cos2（2α+）=-1+2sin2（2α+）=-1+2×（）2=-．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx-=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）

∵f（x）的最小正周期为T=π

∴，ω=1，

∵f（x）的最大值为2，

∴=2，

即a=±1，

∵a＞0，∴a=1．

即f（x）=2sin（2x+）．

由2x+=+kπ，

即x=+，（k∈Z）．

（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，

即sin（2α+）=，

则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=-cos2（2α+）=-1+2sin2（2α+）=-1+2×（）2=-．

1

题型：单选题

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单选题

sin45°sin15°+cos15°cos45°=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

C

解析

解：由两角差的余弦公式可得sin45°sin15°+cos15°cos45°

=cos45°cos15°+sin45°sin15°

=cos（45°-15°）=cos30°=

故选：C

1

题型：填空题

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填空题

已知sin（x-40°）=cos（x+10°）-cos（x-10°），则tanx=______．

正确答案

解析

解：∵sin（x-40°）=cos（x+10°）-cos（x-10°），

∴sinxcos40°-cosxsin40°=cosxcos10°-sinxsin10°-cosxcos10°-sinxsin10°，

∴sinxcos40°-cosxsin40°=-2sinxsin10°，

∴（cos40°+2sin10°）sinx=cosxsin40°，

∴tanx===

==

===

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x≥0时，有f（x）=关于x的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根，若α是四个根中的最大根，则sin（+α）=______．

正确答案

-

解析

解：当x≥0时，函数在区间（0，）和（π，+∞）上是增函数，在区间（，π，）上是减函数

f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（π）=0

作出函数当x≥0时的图象如右图

∵函数y=f（x）是R上的偶函数，

∴当x＜0时y=f（x）的图象与当x≥0时的图象关于y轴对称，故函数x∈R时的图象如图所示

将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有四个不同的公共点，

相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有四个不同的实数根．

令f（x）=1，得x1，2=±，x3，4=±，所以α=，

∴sin（+α）=sin（+）=sin=

故答案为：

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