三角函数_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

函数的最小正周期为______．

正确答案

2π

解析

解：f（x）=cosx+sinx=2sin（x+），

∵ω=1，∴T=2π．

故答案为：2π

1

题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=，其中=（2cosx，1），=（cosx，-sin2x）．

（1）求函数的单调区间；

（2）若x∈（-，0），求函数的值域．

正确答案

解：（1）∵=（2cosx，1），=（cosx，-sin2x），

∴f（x）==2cos2x-sin2x

=1+cos2x-sin2x

=1+2cos（2x+）

由2kπ≤2x+≤2kπ+π可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数的单调递减区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z），

同理可得单调递增区间为[kπ-，kπ-]（k∈Z）；

（2）∵x∈（-，0），∴2x+∈（-，），

∴cos（2x+）∈（，1]，

∴1+cos（2x+）∈（，2]，

∴函数的值域为：（，2]

解析

解：（1）∵=（2cosx，1），=（cosx，-sin2x），

∴f（x）==2cos2x-sin2x

=1+cos2x-sin2x

=1+2cos（2x+）

由2kπ≤2x+≤2kπ+π可得kπ-≤x≤kπ+，

∴函数的单调递减区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z），

同理可得单调递增区间为[kπ-，kπ-]（k∈Z）；

（2）∵x∈（-，0），∴2x+∈（-，），

∴cos（2x+）∈（，1]，

∴1+cos（2x+）∈（，2]，

∴函数的值域为：（，2]

1

题型：单选题

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单选题

下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（　　）

Ay=cos（2x+）

By=sin（2x+）

Cy=sin2x+cos2x

Dy=sinx+cosx

正确答案

A

解析

解：

y=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确

y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；

y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；

y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数y=cos2x+sinxcosx．

（1）求该函数的最小正周期和最大值；

（2）当该函数取得最大值时，求自变量x的集合．

正确答案

解：（1）化简可得y=cos2x+sinxcosx

=•+sin2x

=+（cos2x+sin2x）

=+sin（2x+）

∴函数的最小正周期T==π，最大值为+=；

（2）由（1）知，当2x+=2k即x=kπ+时，该函数取得最大值，

故自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}

解析

解：（1）化简可得y=cos2x+sinxcosx

=•+sin2x

=+（cos2x+sin2x）

=+sin（2x+）

∴函数的最小正周期T==π，最大值为+=；

（2）由（1）知，当2x+=2k即x=kπ+时，该函数取得最大值，

故自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}

1

题型：简答题

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简答题

已知．

（I）求函数f（x）的最小正周期；

（II）求函数f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（I）函数f（x）=sin22x-sin2xcos2x

=-sin4x=-sin（4x+），

∵ω=4，∴T==；

（II）∵2kπ+＜4x+＜2kπ+，即+＜x＜+，k∈Z时，

正弦函数sin（4x+）单调递减，此时f（x）单调递增，

则f（x）的单调递增区间为（+，+），k∈Z．

解析

解：（I）函数f（x）=sin22x-sin2xcos2x

=-sin4x=-sin（4x+），

∵ω=4，∴T==；

（II）∵2kπ+＜4x+＜2kπ+，即+＜x＜+，k∈Z时，

正弦函数sin（4x+）单调递减，此时f（x）单调递增，

则f（x）的单调递增区间为（+，+），k∈Z．

1

题型：填空题

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填空题

已知：角A，B，C为锐角，A＜B＜C，A+B+C=π，且tanA，tanB，tanC为整数，那么tanA=______，tanB=______，tanC=______．

正确答案

1

2

3

解析

解：角A，B，C为锐角，A＜B＜C，A+B+C=π，且tanA，tanB，tanC为整数，∴tanA＜tanB＜tanC，

∴tanA=1=-tan（B+C）=-，∴tanB+tanC=tanBtanC-1，

故tanB=2，tanC=3，

故答案为：1；2；3．

1

题型：填空题

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填空题

（2015春•上海校级期末）若，则sin（x-y）=______．

正确答案

解析

解：若，

则cos（x+y）=，且 2cos（x+y）sin（x-y）=2••sin（x-y）=，

∴sin（x-y）=，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

若，则=______；=______．

正确答案

m

-m

解析

解：∵（-α）+（+α）=，（-α）+（+α）=π，cos（-α）=m；

∴sin（+α）=sin[-（-α）]=cos（-α）=m；

cos（+α）=cos[π-（-α）]=-cos（-α）=-m．

故答案为：m，-m．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x-2cos2x

=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）

故函数f（x）的最小正周期为T==π，

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x-∈，

故sin（2x-）∈，所以sin（2x-）∈，

故函数f（x）在上的值域为：

解析

解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x-2cos2x

=1+sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）

故函数f（x）的最小正周期为T==π，

由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，

故函数的单调递增区间为：[kπ-，kπ+]，（k∈Z）；

（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x-∈，

故sin（2x-）∈，所以sin（2x-）∈，

故函数f（x）在上的值域为：

1

题型：简答题

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简答题

如图所示，锐角α和钝角β的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A、B两点，角α的终边与射线y=x（x≥0）重合，点B的纵坐标为．

（1）求sin（β-α）；

（2）D为OB边上的一点，且AD=，求△AOD的面积．

正确答案

解：（1）由已知A（，）．B（，），

即cosα=sinα=，cosβ=，sinβ=，

则sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=；

（2）∵AD=，AO=1，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=；

∴由余弦定理得AD2=OA2+OD2-2OA•0Dcos（β-α），

即OD2+OD-=0，

解得OD=或OD=（舍去），

则△AOD的面积为．

解析

解：（1）由已知A（，）．B（，），

即cosα=sinα=，cosβ=，sinβ=，

则sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=；

（2）∵AD=，AO=1，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=；

∴由余弦定理得AD2=OA2+OD2-2OA•0Dcos（β-α），

即OD2+OD-=0，

解得OD=或OD=（舍去），

则△AOD的面积为．

1

题型：填空题

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填空题

tan18°+tan27°+tan18°•tan27°=______．

正确答案

1

解析

解：由tan45°=tan（18°+27°）==1，

得到tan18°+tan27°=1-tan18°tan27°，

则tan18°+tan27°+tan18°•tan27°=1．

故答案为：1

1

题型：填空题

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填空题

tan15°+cot15°的值是______．

正确答案

4

解析

解：tan15°+cot15°=+===4，

故答案为：4．

1

题型：单选题

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单选题

（2015秋•仙游县校级期中）在△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC-1，则sin2A=（　　）

A-

B

C-

D

正确答案

B

解析

解：△ABC中，若（tanB+tanC）=tanBtanC-1，

则 tan（B+C）==-，∴B+C=150°，∴A=30°，

∴sin2A=sin60°=，

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知sinα=，0＜α＜，求cosα和sin（α+）的值．

正确答案

解：∵，

∴，

∴．

解析

解：∵，

∴，

∴．

1

题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）将函数f（x）的图象沿向量平移得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在x∈[0，π]上的单调递减区间．

正确答案

解：=…（4分）

（1）函数f（x）的最小正周期为…（6分）

（2）由题意知g（x）=f（x+）+2=sin（2x++）+2=…（8分）

∵0≤x≤π∴0≤2x≤2π

由g（x）在[0，π]上单调递减

∴，或

∵，或…（11分）

故函数f（x）的单调递减区间为[0，π]和…（12分）

解析

解：=…（4分）

（1）函数f（x）的最小正周期为…（6分）

（2）由题意知g（x）=f（x+）+2=sin（2x++）+2=…（8分）

∵0≤x≤π∴0≤2x≤2π

由g（x）在[0，π]上单调递减

∴，或

∵，或…（11分）

故函数f（x）的单调递减区间为[0，π]和…（12分）

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