三角函数_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知锐角α，β满足，则β等于______．

正确答案

解析

解：∵锐角α，β满足，

∴cosα==，cos（α-β）==，

∴tanα==，tan（α-β）==-，

∴tanβ=tan[（α-（α-β）]===1，

故β=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若的值等于______．

正确答案

解析

解：∵=，∴tanα=-，

∴===，

故答案为．

1

题型：填空题

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填空题

已知＜α＜β＜，且sin（α+β）=，cos（α-β）=，则tan2α=______．

正确答案

-

解析

解：∵＜α＜β＜，且sin（α+β）=，cos（α-β）=，

∴＜α+β＜π，-＜α-β＜0，

∴cos（α+β）==-，sin（α-β）=-=-，

∴tan（α+β）==-，tan（α-β）==-，

∴tan2α=tan[（α+β）+（α-β）]===-，

故答案为：-．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b=2，B=60°，a+c=10．

（1）求sin（A+30°）；

（2）若D为△ABC外接圆劣弧AC上的一点，且2AD=DC，求四边形ABCD的面积．

正确答案

解：（1）利用余弦定理可得 b2=28=a2+c2-2ac•cos60°=（a+c）2-3ac=100-3ac，∴ac=24．

再结合a+c=10，可得a=4、c=6；或 a=6、c=4．

若a=4、c=6，则cosA==，∴sinA=，

故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=+=．

若a=6、c=4，则cosA==，∴sinA=，

故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=×+×=．

（2）∵A、B、C、D四点共圆，B=60°，∴D=120°，cosD=-．

再根据2AD=CD，△ACD中利用余弦定理可得 b2=28=AD2+（2AD）2-2•AD•2AD•cos120°=5AD2+2AD2，

求得AD=2，∴CD=4，

∴四边形ABCD的面积为•ac•sinB+•AD•CD•sinD=+=8．

解析

解：（1）利用余弦定理可得 b2=28=a2+c2-2ac•cos60°=（a+c）2-3ac=100-3ac，∴ac=24．

再结合a+c=10，可得a=4、c=6；或 a=6、c=4．

若a=4、c=6，则cosA==，∴sinA=，

故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=+=．

若a=6、c=4，则cosA==，∴sinA=，

故sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=×+×=．

（2）∵A、B、C、D四点共圆，B=60°，∴D=120°，cosD=-．

再根据2AD=CD，△ACD中利用余弦定理可得 b2=28=AD2+（2AD）2-2•AD•2AD•cos120°=5AD2+2AD2，

求得AD=2，∴CD=4，

∴四边形ABCD的面积为•ac•sinB+•AD•CD•sinD=+=8．

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题型：单选题

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单选题

函数y=sinx+cosx的最小正周期和最大值分别是（　　）

Aπ，1

B

C2π，1

D

正确答案

D

解析

解：∵y=sinx+cosx=sin（x+）

∴T==2π，．

故选：D．

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题型：单选题

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单选题

若sin（x-）=，则cos（-2x）=（　　）

A

B-

C

D-

正确答案

C

解析

解：由于sin（x-）=，

则cos（-2x）=cos（2x-）=1-2sin2（x-）　

=1-2×=．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

设α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=．

（1）求sin（2α+）的值；

（2）求tan（2β-）的值．

正确答案

解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，

∴sin（α+）==，

sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，

∴cos2（α+）=1-2=，

故sin（2α+）=sin[2（α+）-]=sin2（α+）cos-cos2（α+）sin

=-•=．

（2）由（1）可得，tan（α+）==，

tan（β-）=tan[（α+β）-（α+）]===，

∴tan（2β-）=tan2（β-）==．

解析

解：（1）∵α为锐角，且cos（α+）=，tan（α+β）=，

∴sin（α+）==，

sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，

∴cos2（α+）=1-2=，

故sin（2α+）=sin[2（α+）-]=sin2（α+）cos-cos2（α+）sin

=-•=．

（2）由（1）可得，tan（α+）==，

tan（β-）=tan[（α+β）-（α+）]===，

∴tan（2β-）=tan2（β-）==．

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题型：简答题

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简答题

已知sinα=，cosβ=-，且α、β∈（，π），判断α-β是第几象限角？

正确答案

解：∵sinα=∈（，），cosβ=-∈（-，- ），且α、β∈（，π），

∴α∈（，）、β∈（，），

∴α-β∈（-，）．

再根据cosα=-=-，sinβ==，

可得sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-（-）•=＜0，

可得α-β∈（-，0），故α-β为第四象限角．

解析

解：∵sinα=∈（，），cosβ=-∈（-，- ），且α、β∈（，π），

∴α∈（，）、β∈（，），

∴α-β∈（-，）．

再根据cosα=-=-，sinβ==，

可得sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=-（-）•=＜0，

可得α-β∈（-，0），故α-β为第四象限角．

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题型：单选题

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单选题

当x∈[-，]时，函数f（x）=sinx+cosx的最大值与最小值分别是（　　）

A1，-1

B1，-

C2，-2

D2，-1

正确答案

D

解析

解：∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），

又x∈[-，]，∴x+∈[-，]，

∴sin（x+）∈[-，1]．

即f（x）∈[-1，2]，

故函数的最大值与最小值分别是2，-1，

故选：D．

1

题型：单选题

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单选题

下列各式中值为的是（　　）

Asin45°cos15°+cos45°sin15°

Bsin45°cos15°-cos45°sin15°

Ccos75°cos30°+sin75°sin30°

D

正确答案

C

解析

解：A项中sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin（45°+15°）=sin60°=，

B项中sin45°cos15°-cos45°sin15°=sin（45°-15°）=sin30°=，

C项中cos75°cos30°+sin75°sin30°=cos（75°-30°-）=cos45°=，

D项中=tan（60°-30°）=tan30°=，

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

已知A为三角形的一个内角，且sinAcosA=-，则cosA-sinA的值为（　　）

A-

B±

C±

D-

正确答案

D

解析

解：由A为三角形的内角且sinAcosA=-可知sinA＞0，cosA＜0

∴cosA-sinA＜0

而（cosA-sinA）2=1-2sinAcosA=

∴

故选：D

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题型：简答题

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简答题

已知向量=（1，sinθ），=（2，1）．

（1）当θ=时，求向量2+的坐标；

（2）若∥，且θ∈（0，），求sin（θ+）的值．

正确答案

解：（1）∵，∴=，

∴向量2+=；

（2）∵∥，∴，

又∵，∴，

∴

解析

解：（1）∵，∴=，

∴向量2+=；

（2）∵∥，∴，

又∵，∴，

∴

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题型：填空题

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填空题

已知sinα=，α∈（，π），cosβ=-，β是第三象限角，则sin（α+β）=______．

正确答案

解析

解：∵sinα=，α∈（，π），cosβ=-，β是第三象限角，

∴cosα=-，sinβ=-，

∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=；

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

若sinα-2cosα=0，则tan（+α）的值为______．

正确答案

-3

解析

解：由sinα-2cosα=0，即有sinα=2cosα，

则tanα=2，

即有tan（+α）===-3．

故答案为：-3．

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题型：填空题

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填空题

已知cos（-α）=，sin（+β）=-，α∈（，），β∈（π，），则sin（α+β）=______．

正确答案

-

解析

解：∵cos（-α）=，sin（+β）=-，α∈（，），β∈（π，），

∴-α∈（-，0），+β∈（，），

∴sin（-α）=-=-，cos（+β）=-=-，

∴sin（α+β）=sin[（+β）-（-α）]=sin（+β）cos（-α）-cos（+β）sin（-α）

=-•-（-）•（-）=-，

故答案为：-．

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