三角函数_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

已知α∈（-，0），sinα=-，则tan（α+）=______．

正确答案

-

解析

解：∵α∈（-，0），sinα=-，

∴cosα==，

∴tanα==-，

∴tan（α+）==-

故答案为：-．

1

题型：简答题

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简答题

（1）已知cos（α+β）=，cosβ=，α，β均为锐角，求sinα的值；

（2）在锐角三角形ABC中，cosA=，tan（A-B）=-，求cosC的值．

正确答案

解：（1）∵α，β均为锐角

∴0°＜α+β＜180°

∴sin（α+β）＞0，sinβ＞0

∵，

∴…（2分）

∵，∴…（4分）

∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=…（7分）

（2）在锐角三角形ABC中

∴，∴…（8分）

又

∴

∴…（10分）

又

∴…（12分）

∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB=…（14分）

解析

解：（1）∵α，β均为锐角

∴0°＜α+β＜180°

∴sin（α+β）＞0，sinβ＞0

∵，

∴…（2分）

∵，∴…（4分）

∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=…（7分）

（2）在锐角三角形ABC中

∴，∴…（8分）

又

∴

∴…（10分）

又

∴…（12分）

∴cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-cosBcosA+sinAsinB=…（14分）

1

题型：简答题

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简答题

已知，，求tanx的值．

正确答案

解：解法一：∵，，…①（2分）

即，∴，（4分）

∵，∴sinx＜0，cosx＜0，（6分）

∴．…②（8分）

由①、②解得：，．（10分）

∴．（12分）

法二：∵，，

∴，（4分）

∴．（8分）

即，解得．（12分）

解析

解：解法一：∵，，…①（2分）

即，∴，（4分）

∵，∴sinx＜0，cosx＜0，（6分）

∴．…②（8分）

由①、②解得：，．（10分）

∴．（12分）

法二：∵，，

∴，（4分）

∴．（8分）

即，解得．（12分）

1

题型：单选题

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单选题

△ABC的三个内角为A，B，C，若=tan，则sinB•sinC的最大值为（　　）

A

B1

C

D2

正确答案

C

解析

解：∵=tan，∴cosA=0，

∵A∈（0，π），∴A=．

则sinB•sinC=sinB=sinBcosB=，当且仅当B=时取等号．

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点（，1）．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）求函数的最小正周期和最大值和单调递增区间．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点（，1）．

∴1=msin+cos=m，∴m=1

∴y=f（x）的解析式为f（x）=sinx+cosx=sin（x+）；

（2）由（1）知f（x）=sin（x+），

∴函数的最小正周期T=2π，最大值为，

由2kπ-≤x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤2kπ+，

∴函数f（x）单调递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，k∈Z

解析

解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点（，1）．

∴1=msin+cos=m，∴m=1

∴y=f（x）的解析式为f（x）=sinx+cosx=sin（x+）；

（2）由（1）知f（x）=sin（x+），

∴函数的最小正周期T=2π，最大值为，

由2kπ-≤x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤2kπ+，

∴函数f（x）单调递增区间为：[2kπ-，2kπ+]，k∈Z

1

题型：简答题

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简答题

已知sinα+sinβ=，tan=2，求cosα+cosβ的值．

正确答案

解：由tan=2，可得sin=2cos．

∵sinα+sinβ=2sincos=4cos•cos=2（cosα+cosβ）=，

∴cosα+cosβ=．

解析

解：由tan=2，可得sin=2cos．

∵sinα+sinβ=2sincos=4cos•cos=2（cosα+cosβ）=，

∴cosα+cosβ=．

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，若tanA+tanB+tanC=1，则tanAtanBtanC=______．

正确答案

1

解析

解：∵在△ABC中，A+B+C=π

∴A+B=π-C，可得tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，

由两角和的正切公式，得=-tanC

∴tanA+tanB=-tanC（1-tanAtanB），即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

∵tanA+tanB+tanC=1，

∴tanAtanBtanC=1

故答案为：1

1

题型：单选题

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单选题

已知函数，，则函数f（x）=f1（x）+f2（x）的振幅为（　　）

A

B5

C7

D13

正确答案

A

解析

解：函数f（x）=f1（x）+f2（x）

=

=3sin2xcos-3cos2xsin+4sin2xcos+4cos2xsin

=7sin2xcos+cos2xsin

=sin2x+cos2x

=sin（2x+θ）．其中tanθ=．

所以函数的振幅为．

故选A．

1

题型：单选题

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单选题

（2015•吉林校级四模）已知=1-ni，其中m，n∈R，i为虚数单位，则m+ni（　　）

A2+i

B1+2i

C1-i

D1-2i

正确答案

A

解析

解：由已知=1-ni，可得 =1-ni，

∴=1，且-=-n，

求得m=2，n=1，

故m+ni=2+i，

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

计算：

（1）cos40°（1+tan10°）；

（2）tan17°tan43°+tan30°（tan17°+tan43°）

正确答案

解：（1）式子=cos40°（1+•）

=cos40°•=cos40°•

===1；

（2）式子=tan17°tan43°+tan30°[tan（17°+43°）（1-tan17°tan43°）

=tan17°tan43°+（1-tan17°tan43°）

=1．

解析

解：（1）式子=cos40°（1+•）

=cos40°•=cos40°•

===1；

（2）式子=tan17°tan43°+tan30°[tan（17°+43°）（1-tan17°tan43°）

=tan17°tan43°+（1-tan17°tan43°）

=1．

1

题型：填空题

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填空题

已知tanα=3，则tan（α+）=______．

正确答案

-2

解析

解：∵tanα=3，

∴tan（α+）===-2．

故答案为：-2．

1

题型：填空题

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填空题

已知tan（α+β）=，tan（β-）=，那么tan（α+）的值为______．

正确答案

解析

解：∵tan（α+β）=，tan（β-）=，

∴tan（α+）=tan[（α+β）-（β-）]

=

=．

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

已知，则=______．

正确答案

-3

解析

解：∵，

∴=5，解得tanα=2，

∴===-3

故答案为：-3

1

题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，，且外接圆半径R=1．

（1）求角C的大小；

（2）求△ABC周长的取值范围．

正确答案

解：（1）∵已知△ABC中，，

∴，

即，即．

再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB= （tanA•tanB-1），

∴tan（A+B）==-=-tanC，∴tanC=，C=．

（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=．

由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=，

故△ABC周长大于2．

再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin•cos

=4sin•cos=2cos≤2，（当且仅当A=B时，取等号）．

可得三角形的周长 a+b+c≤2+=3，

故△ABC周长的取值范围为（2，3]．

解析

解：（1）∵已知△ABC中，，

∴，

即，即．

再由△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC 可得，tanA+tanB= （tanA•tanB-1），

∴tan（A+B）==-=-tanC，∴tanC=，C=．

（2）由于△ABC外接圆半径R=1，由正弦定理可得 c=2R•sinC=．

由于三角形任意两边之和大于第三边，∴a+b＞c=，

故△ABC周长大于2．

再由a+b=2sinA+2sinB=2（sinA+sinB）=2×2sin•cos

=4sin•cos=2cos≤2，（当且仅当A=B时，取等号）．

可得三角形的周长 a+b+c≤2+=3，

故△ABC周长的取值范围为（2，3]．

1

题型：填空题

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填空题

的值等于______．

正确答案

-

解析

解：==tan（45°+75°）=tan120°=-tan60°=-，

故答案为-．

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