- 离散型随机变量的均值与方差
- 共2532题
在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的期望和方差．
正确答案
根据题意可得：ξ可能取的值为1，2，3，4，5，
所以P（ξ=1）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为
由数学期望的定义知：Eξ=0.2×（1+2+3+4+5）=3（10分），
根据方差的定义可得：Dξ=0.2×（22+12+02+12+22）=2（12分）
某厂规定，如果工人在第一季度里有1个月完成产生任务，可得奖金90元；如果有2个月完成任务，可得奖金210元；如果有3个月完成任务，可得奖金330元；如果三个月都未完成任务，则没有奖金．假设某工人每个月完成任务与否是等可能的，求此工人在第一季度里所得奖金的期望．
正确答案
设ξ：该工人在第一季度完成任务的月数，
η：该工人在第一季度所得奖金数，
则ξ与η的分布列如下：
P(η=0)=P(ξ=0)=
P(η=90)=P(ξ=1)=
P(η=210)=P(ξ=2)=
P(η=330)=P(ξ=3)=
∴Eη=
即该工人在第一季度里所得奖金的期望为153.75元．
某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人.
（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？
（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3 个成绩中语文，外语两科成绩至少有一科优秀的个数为X ，求X的分布列和期望E（x）.
附：
正确答案
（Ⅰ）能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系；（Ⅱ）
试题分析：（Ⅰ）根据题意得到列联表，代入公式求解
试题解析：（Ⅰ）由题意得列联表：
因为K2＝
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．5分
（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是
则(
的分布列为
E(X)＝3×
在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数ξ的期望和方差．
正确答案
根据题意可得：ξ可能取的值为1，2，3，4，5，
所以P（ξ=1）=
P（ξ=4）=
∴ξ的分布列为
由数学期望的定义知：Eξ=0.2×（1+2+3+4+5）=3（10分），
根据方差的定义可得：Dξ=0.2×（22+12+02+12+22）=2（12分）
某公司有10万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的期望是______元．
正确答案
∵由题意知本题投资成功的概率是
投资成功的收益是100000×12%，
投资失败的损失是100000×0.5
该公司一年后估计可获收益的期望是100000×12%×
故答案为：9520．
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