- 离散型随机变量的均值与方差
- 共2532题
若随机变量
正确答案
解：因为分布列的性质可知，概率和为1，因此
因此期望值为
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85
(1)用茎叶图表示这两组数据；
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
(3)(理)若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.
正确答案
(1)作出茎叶图如下：
甲
乙
9 8
7
5
8 4 2 1
8
0 0 3 5
5 3
9
0 2 5
(2)派甲参赛比较合适．理由如下：
甲＝(70×2＋80×4＋90×2＋8＋9＋1＋2＋4＋8＋3＋5)
＝85，
乙＝(70×1＋80×4＋90×3＋5＋0＋0＋3＋5＋0＋2＋5)＝85，
s2甲＝[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，
s2乙＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.
∵甲＝乙，s2甲
∴甲的成绩较稳定，派甲参寒比较合适．
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样正确．如派乙参赛比较合适．理由如下：
从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率P1＝，
乙获得85分以上(含85分)的概率P2＝＝.
∵P2>P1，∴派乙参赛比较合适．
(理)(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，则P(A)＝＝.
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，且ξ～，
∴P(ξ＝k)＝Ck3k3－k，k＝0,1,2,3.
所以变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝
.
略
（本题14分）口袋内有
口袋中随机取出一个球是红球的概率是
（Ⅰ）求
（Ⅱ）不放回地从口袋中取球（每次只取一个球），取到白球时即停止取球，记
正确答案
(1) 
试题分析：解：（I）由题设知，
因为
解不等式得，
又因为
所以
（II）
点评：对于概率试题的求解，主要是能对于古典概型的事件空间准确求解，同时能根据各个概率的取值，得到分布列，属于中档题。
（本小题满分12分）上海世博会举办时间为2010年5月1日～10月31日。福建馆以“海西”为参博核心元素，主题为“潮涌海西，魅力福建”。福建馆招募了60名志愿者，某高校有l3人入选，其中5人为中英文讲解员，8人为迎宾礼仪，它们来自该校的5所所学院（这5所学院编号为1～5号），人员分布如图所示。若从这13名入选者中随机抽取3人。
（1）求这3人所在学院的编号恰好成等比数列的概率；
（2）求这3人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望。
正确答案
（1）
（2）
（1）“这3人所在学院的编号正好成等比数列”记为事件A，
“这3人都来自1号学院”记为事件A1，
“这3人都来自2号学院”记为事件A2，
“这3人分别来自1号、2号、4号学院”记为事件A3，
∴P(A1)=P(A2)= 
P(A3)=" " 
∴P(A)= P(A1)+P(A2)+P(A3)= 
∴这3人所在学院的编号恰好成等比数列的概率是
（2）设这3人中中英文讲解员的人数为
P(
P(
∴
有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作x，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作y，令
（1）求X所取各值的概率；
（2）求随机变量X的均值与方差．
正确答案
（1）
（2）
（1）
（2）
0
1
2
4
所以
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