- 离散型随机变量的均值与方差
- 共2532题
若随机变量的分布表如表所示,则
▲ .
正确答案
解:因为分布列的性质可知,概率和为1,因此
因此期望值为
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲
82
81
79
78
95
88
93
84
乙
92
95
80
75
83
80
90
85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由;
(3)(理)若将频率视为概率,对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.
正确答案
(1)作出茎叶图如下:
甲
乙
9 8
7
5
8 4 2 1
8
0 0 3 5
5 3
9
0 2 5
(2)派甲参赛比较合适.理由如下:
甲=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)
=85,
乙=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,
s2甲=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,
s2乙=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.
∵甲=乙,s2甲
∴甲的成绩较稳定,派甲参寒比较合适.
注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样正确.如派乙参赛比较合适.理由如下:
从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,
乙获得85分以上(含85分)的概率P2==.
∵P2>P1,∴派乙参赛比较合适.
(理)(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A,则P(A)==.
随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,且ξ~,
∴P(ξ=k)=Ck3k3-k,k=0,1,2,3.
所以变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×=
.
略
(本题14分)口袋内有(
)个大小相同的球,其中有3个红球和
个白球.已知从
口袋中随机取出一个球是红球的概率是,且
。若有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球),在四次取球中恰好取到两次红球的概率大于
。
(Ⅰ)求和
;
(Ⅱ)不放回地从口袋中取球(每次只取一个球),取到白球时即停止取球,记为第一次取到白球时的取球次数,求
的分布列和期望
。
正确答案
(1) 和
(2)
试题分析:解:(I)由题设知,,
因为所以不等式可化为
,
解不等式得,,即
.
又因为,所以
,即
,
所以,所以
,所以
. ………………7分
(II)可取1,2,3 ,4
的分布列为
. ……………14分
点评:对于概率试题的求解,主要是能对于古典概型的事件空间准确求解,同时能根据各个概率的取值,得到分布列,属于中档题。
(本小题满分12分)上海世博会举办时间为2010年5月1日~10月31日。福建馆以“海西”为参博核心元素,主题为“潮涌海西,魅力福建”。福建馆招募了60名志愿者,某高校有l3人入选,其中5人为中英文讲解员,8人为迎宾礼仪,它们来自该校的5所所学院(这5所学院编号为1~5号),人员分布如图所示。若从这13名入选者中随机抽取3人。
(1)求这3人所在学院的编号恰好成等比数列的概率;
(2)求这3人中中英文讲解员人数的分布列及数学期望。
正确答案
(1)
(2)的分布列为
的数学期望
=
(1)“这3人所在学院的编号正好成等比数列”记为事件A,
“这3人都来自1号学院”记为事件A1,
“这3人都来自2号学院”记为事件A2,
“这3人分别来自1号、2号、4号学院”记为事件A3,
∴P(A1)=P(A2)= ……………………………………………2分
P(A3)=" " …………………………………………5分
∴P(A)= P(A1)+P(A2)+P(A3)=
∴这3人所在学院的编号恰好成等比数列的概率是 ……………6分
(2)设这3人中中英文讲解员的人数为,则
=0,1,2,3
P(=0)=
,P(
=1)=
, …………………………8分
P(=2)=
,P(
=3)=
, …………………………10分
的分布列为
∴的数学期望
=
…………12分
有三张形状、大小、质地完全一致的卡片,在每张卡片上分别写上0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上的数字记作x,然后放回,再抽取一张,将其上的数字记作y,令.
(1)求X所取各值的概率;
(2)求随机变量X的均值与方差.
正确答案
(1);
;
;
.
(2).
(1);
;
;
.
(2)的分布列为
0
1
2
4
所以.
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