- 离散型随机变量的均值与方差
- 共2532题
学校游园活动有一个游戏项目：箱子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从箱子里摸出3个球，若摸出的是3个红球为优秀；若摸出的2个红球1个白球为良好；否则为合格．
（Ⅰ）求在1次游戏中获得优秀的概率；
（Ⅱ）求在1次游戏中获得良好及以上的概率．
正确答案
将3个红球编号1，2，3；2个白球编号为4，5．
则从5个球中摸出3个球的所有可能情况为：
（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）共10种．
令D表示在1次游戏中获得优秀的事件，则获得优秀的情况为（123）共一种．
E表示在1次游戏中获得良好的事件，则获得良好的情况为（124），（125），（134），（135），（234），
（235）共6种．
F表示在1次游戏中获得良好及以上的事件．
（Ⅰ）P（D）=
（Ⅱ）P（E）=
甲、乙两人参加奥运知识竞赛，假设甲、乙两人答对每题的概率分别为
（I）甲、乙两人各答一题，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望；
（II）甲、乙两人各答两题，每人每答一题记为一次，求这四次答题中至少有一次答对的概率．
正确答案
（I）依题意，记“甲答对一题”为事件A，
“乙答对一题”为事件B
则P(A)=
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2
∴ξ的分布列为
P(ξ=0)=P(
P(ξ=1)=P(A)P(
P(ξ=2)=P(A)P(B)=
Eξ=0×
∴每人各答一题，两人得分之和ξ的数学期望为
（II）“甲、乙两人各答两题，这四次都没答对”的概率为
∴甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为
P=1-
即甲、乙两人各答两题，这四次答题中至少有一次答对的概率为
已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．
（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．
正确答案
（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人
选取的两名学生都是女生的概率P=
∴所求的概率为：1-P=
（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104
用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，
则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），
∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，
∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8
已知袋中有10个大小相同的8个红球，2个黑球，需要从中取出1个红球，每次从中取出1个，取出后不放回，直到取出1个红球为止，则取球次数ξ的数学期望Eξ=______．
正确答案
由题意，取球次数ξ的1，2，3，则
P（ξ=1）=
∴Eξ=1×
故答案为：
口袋里有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次取出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球．
（1）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（2）设第n次由甲摸球的概率为an，试建立an与an-1（n≥2）的递推关系．
正确答案
解（1）：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B
则P(A)=P(B)=
依据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，
且P(ξ=0)=P(
P(ξ=2)=P(A•A•
P(ξ=3)=P(A•A•A)=(
∴Eξ=0×
（2）根据摸球规则可知，第n次由甲摸秋包括如下两个事件：
①第n-1次由甲摸球，且摸出红球，
其发生的概率为an-1×
②第n-1次由乙摸球，且摸出白球，
其发生的概率为(1-an-1)×
∵上述两个事件互斥，
∴an=
即an=-
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