- 向心力
- 共7577题
质量为m的三个相同的质点，分别位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，他们彼此间在相互之间的万有引力作用下，沿等边三角形的外接圆做匀速圆周运动，运动中三个质点始终保持在等边三角形的三个顶点上，求各个质点运动的角速度．
正确答案
解：如图1所示，A、B、C表示三个质点的位置，O点为该等边三角形的外接圆圆心，设各质点做匀速圆周运动的轨道半径为R，角速度为ω；
由几何关系得到，
由向心力公式知：F=mω2R （2）
其中任意一质点（如C点）做圆周运动所需的向心力，均由其它两质点对它的万有引力的合力提供，由图2可知：F=2FACcos30° （3）
由万有引力定律得：FAB=FBC=
由（1）（2）（3）（4）式解得质点运动的角速度为：
故各个质点运动的角速度均为
解析
解：如图1所示，A、B、C表示三个质点的位置，O点为该等边三角形的外接圆圆心，设各质点做匀速圆周运动的轨道半径为R，角速度为ω；
由几何关系得到，
由向心力公式知：F=mω2R （2）
其中任意一质点（如C点）做圆周运动所需的向心力，均由其它两质点对它的万有引力的合力提供，由图2可知：F=2FACcos30° （3）
由万有引力定律得：FAB=FBC=
由（1）（2）（3）（4）式解得质点运动的角速度为：
故各个质点运动的角速度均为
一辆质量m=2.0t的小轿车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2．求：
（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
正确答案
由向心力公式有：
N1-mg=m
解得桥面的支持力大小为
N1=m
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G和桥面向上的支持力N2，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力N2 的合力为mg-N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向=mg-N2，由向心力公式有
mg-N2=m
解得桥面的支持力大小为：N2=mg-m
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为17800N．
（3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力，由向心力公式有：
mg=m
解得：vm=
汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
答：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是17800N；
（3）汽车以30m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
解析
由向心力公式有：
N1-mg=m
解得桥面的支持力大小为
N1=m
根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G和桥面向上的支持力N2，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力N2 的合力为mg-N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向=mg-N2，由向心力公式有
mg-N2=m
解得桥面的支持力大小为：N2=mg-m
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为17800N．
（3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力，由向心力公式有：
mg=m
解得：vm=
汽车以30 m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
答：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，汽车对桥面最低点的压力大小是28900N．
（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是17800N；
（3）汽车以30m/s速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
（1）细线刚被拉断时，小球抛出的速度多大？
（2）细线所能承受的最大拉力．
正确答案
解：（1）根据
（2）在最低点，根据牛顿第二定律得：
解得：
答：（1）小球抛出的初速度为
（2）细线所能承受的最大拉力为
解析
解：（1）根据
（2）在最低点，根据牛顿第二定律得：
解得：
答：（1）小球抛出的初速度为
（2）细线所能承受的最大拉力为
2013年9月1日，江苏队选手任成远在第12届全国运动会上蝉联女子自行车山地越野赛冠军．运动员在一段水平山路转弯时的情景如图甲所示，转弯时当地面对车的作用力通过车（包括人）的重心时，车将不会倾倒．设自行车和人的总质量M=80kg，自行车轮胎与路面的动摩擦因数μ=0.4．设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，水平弯道可看成一段圆弧，半径r=100m，取g=10m/s2．
（1）自行车受到地面的最大静摩擦力fm是多少？
（2）自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm是多少？
（3）设地面对车的作用力F与水平地面间的夹角为θ，当转弯速度增大时，θ角将随之减小．请选择合适的坐标参量，在图乙坐标中定量画出自行车转弯时角θ与速度大小v的线性关系图象．
正确答案
解：（1）设自行车受到地面的弹力为N，则有：fm=μN
由平衡条件有：N=Mg
代入数据解得：fm=320N
（2）根据牛顿第二定律有：
代入数据解得：vm=20m/s
（3）地面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，则：
解得：
作出θ与v的线性关系图象如图．
答：（1）自行车受到地面的最大静摩擦力fm是320N．
（2）自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm是20m/s．
（3）如图所示．
解析
解：（1）设自行车受到地面的弹力为N，则有：fm=μN
由平衡条件有：N=Mg
代入数据解得：fm=320N
（2）根据牛顿第二定律有：
代入数据解得：vm=20m/s
（3）地面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，则：
解得：
作出θ与v的线性关系图象如图．
答：（1）自行车受到地面的最大静摩擦力fm是320N．
（2）自行车转弯时不发生侧滑的最大速度vm是20m/s．
（3）如图所示．
F1是英文Formula One的缩写，即一级方程式赛车，是仅次于奥运会和世界杯的世界第三大赛事．F1赛车的变速系统非常强劲，从时速0加速到108km/h仅需2.4s，此时加速度为10m/s2，时速为216km/h时的加速度为3m/s2，从时速为0加速到216km/h再急停到0只需12.15s．假定F1 赛车加速时的加速度随时间的变化关系为：a=a0-2t，急停时的加速度大小恒为9.6m/s2．上海F1赛道全长约5.5km，弯道最小半径：R=8.80m，最大半径：R=120.55m，设计最高时速327公里，比赛要求选手跑完56圈决出胜负．完成以下几个问题（计算结果保留三位有效数字）．
（1）若某车手平均速率为220km/h，则跑完全程用多长时间？
（2）若车手某次以90km/h的速率通过半径为8.80m的弯道，求赛车的向心加速度．
（3）由题目条件求出该F1 赛车的最大加速度多大？
正确答案
解：
（1）车手跑完全程的时间为：
（2）90km/h=25m/s，车手的向心加速度为：
（3）赛车加速时的加速度a=a0-2t，
当t=2.4s时：10=a0-2.4×2，
解得：
a0=14.8 m/s2．
答：（1）若某车手平均速率为220km/h，则跑完全程时间为1.4h．
（2）若车手某次以90km/h的速率通过半径为8.80m的弯道，赛车的向心加速度为71.0m/s2．
（3）该F1 赛车的最大加速度为14.8m/s2．
解析
解：
（1）车手跑完全程的时间为：
（2）90km/h=25m/s，车手的向心加速度为：
（3）赛车加速时的加速度a=a0-2t，
当t=2.4s时：10=a0-2.4×2，
解得：
a0=14.8 m/s2．
答：（1）若某车手平均速率为220km/h，则跑完全程时间为1.4h．
（2）若车手某次以90km/h的速率通过半径为8.80m的弯道，赛车的向心加速度为71.0m/s2．
（3）该F1 赛车的最大加速度为14.8m/s2．
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