椭圆的标准方程及图象
共1400题

· 椭圆的标准方程及图象

椭圆的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知p：方程+=1表示椭圆；q：抛物线y=x2+2mx+1与x轴无公共点，若p是真命题且q是假命题，求实数m的取值范围．

正确答案

∵“方程+=1表示椭圆”是真命题，

∴…（3分）∴0＜m＜2且m≠1，…（4分）

∵“抛物线y=x2+2mx+1与x轴无公共点”是假命题，

∴抛物线y=x2+2mx+1与x轴有公共点，…（6分）

∴△=4m2-4≥0∴m≥1或m≤-1，…（8分）

由题意得，…（10分）

∴1＜m＜2．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知命题p：“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程+=1表示双曲线”．

（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；

（2）若q是真命题，求实数k的取值范围；

（3）若“p∨q”是真命题，求实数k的取值范围．

正确答案

（1）p：“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”，是真命题，则9-k＞k-1＞0，∴1＜k＜5；

（2）q：“方程+=1表示双曲线”是真命题，则（2-k）k＜0，∴k＜0或k＞2

（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，即一真一假或全为真

∴或或

∴1＜k≤2或k＜0或k≥5或2＜k＜5

∴k＜0或k＞1．

题型：填空题

填空题

有下列五个命题：

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|-|MF2|=4|，则点M的轨迹是双曲线．

③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．

④“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”．

⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，-，也是空间的一个基底．

其中真命题的序号是______．

正确答案

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是”若x，y互为相反数，则x+y=0“为真命题．①正确

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|-|MF2|=4|，则点M的轨迹是双曲线的一支，并非整个双曲线，②错误

③若∠B=60°，则“∠A+∠C=120°=2∠B，“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列．

反之“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则，“∠A+∠B+∠C=3∠B=180°，∠B=60° ③正确

④若+=1表示椭圆，则5-m＞0，且m+3＞0，5-m≠m+3，即-3＜m＜5，且m≠1，④不正确

⑤向量，，是空间的一个基底，即向量，，不共面，则+，-，也不共面，+，-，也是空间的一个基底．⑤正确

故答案为：①③⑤

题型：简答题

简答题

已知命题P：关于x的不等式x2+（a-1）x+1≤0的解集为∅，命题q：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

正确答案

因为￢q为真命题，p∨q为真命题，所以，p真q假．---------（2分）

命题p等价于x2+（a-1）x+1＞0恒成立，即△＜0，解得-1＜a＜3-----（4分）

命题q等价于a＞2．-------（6分）

所以，解得-1＜a≤2------（8分）．

题型：填空题

填空题

给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号为______．

①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3）；

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是-=1；

③抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标为（，0）；

④曲线C：+=1不可能表示椭圆．

正确答案

对于①，直线（a-1）x-y+2a+1=0可化为（x+2）a+（-x-y+1）=0，

要使a为任意实数时，此式恒成立，则有得，

∴直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），

故①正确；

②对于依题意知=2，a2+b2=25求得a=，b=2，故可知结论②正确；

③整理抛物线方程得x2=y，根据抛物线性质可知，抛物线的焦点在y轴上，故③错误；

④当4-k＞0，k-1＞0且4-k≠k-1时，曲线表示椭圆，故④错误．

故答案为：①②

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