热门试卷

（1）因为2＞，所以椭圆的焦点在y轴上

所以椭圆C1的标准方程为+=1

（2）命题“若椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点，

且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C1恒过定点”的真命题．

设椭圆C1：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），设P（s，t）为圆C2上任意一点，

则过点P的圆C2的切线方程为sx+ty=1

因为椭圆C2：x2+y2=1（在椭圆C1内）任意一条切线都与椭圆C1交于两点A、B，不妨设t≠0

由得（mt2+ns2）x2-2nsx+n-t2=0

∵OA⊥OB，根据根与系数的关系建立等式，

∴m+n-1=0

所以满足椭圆的方程mx2+（1-m）y2=1（0＜m＜1且m≠）

即m（x2-y2）+y2-1=0对任意0＜m＜1且m≠均成立

所以即x2=y2=1

所以，满足条件的椭圆C1恒过定点（1，1），（-1，1），（1，-1），（-1，-1）

（1）p：“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”，是真命题，则9-k＞k-1＞0，∴1＜k＜5；

（2）q：“方程+=1表示双曲线”是真命题，则（2-k）k＜0，∴k＜0或k＞2

（3）若“p∨q”是真命题，则p、q至少一个是真命题，即一真一假或全为真

∴或或

∴1＜k≤2或k＜0或k≥5或2＜k＜5

∴k＜0或k＞1．

解：（1）由题意，  设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ

∴|AM|2+|BM|2﹣2|AM||BM|cos2θ=4

∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM||BM|（1+2cos2θ）=4

∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM||BM|cos2θ=4

∵||||cos2θ=3

∴|AM|+|BM|=4

∴||+||=4

因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1

∴曲线C的方程为

（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）

由 x=my+1与，

消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0

显然，方程①的△＞0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有

S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=

∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=

令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=

由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≤

故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3 ∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1