热门试卷

（Ⅰ）由2p=4，∴p=2，∴抛物线y2=4的准线方程为x=-．

故F1(-，0)，F2(，0)，

∴椭圆方程可化为+=1，又椭圆过点M（2，1），

∴+=1，则a4-8a2+12=0，

∵a2＞3，解得：a2=6．

∴所求椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2），则直线l与椭圆交于

A(m，)，B(m，-)，

由•=0，得(m-2)2+(1-)(1+)=0，

即3m2-8m+4=0．

解得：m=2（舍）或m=，

故直线l的方程为x=．

②若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+n．

直线l与椭圆+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2）．

由⇒（1+2k2）x2+4knx+2n2-6=0．

由△＞0，得：（4kn）2-4（1+2k2）（2n2-6）＞0，即6k2-n2+3＞0．

由根与系数关系得：x1+x2=-，x1•x2=．

由•=0得：（x1-2）（x2-2）+（y1-1）（y2-1）=0，

即x1x2-2（x1+x2）+y1y2-（y1+y2）+5=0，

又y1=kx1+n，y2=kx2+n，

故(1+k2)x1x2+(kn-k-2)(x1+x2)+n2-2n+5=0，

即(1+k2)•-(kn-k-2)•+n2-2n+5=0．

∴4k2+8kn+（3n+1）（n-1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n-1）=0．

∴n=-k-或n=-2k+1．

而n=-k-或n=-2k+1满足△＞0．

∴直线l为y=kx-k-=k(x-)-或y=kx-2k+1=k（x-2）+1．

由于直线l不过M，∴直线y=kx-2k+1=k（x-2）+1不合题意．

∴直线l为y=k(x-)-．

综合①②，直线l为为y=k(x-)-或x=．

故直线l恒过定点(，-)．

（Ⅰ）设F1（-c，0），F2（c，0）    （c＞0）．

由题得|PF2|=|F1F2|，即=2c，整理得2(

c

a

)2+-1=0，得=-1（舍），或=，

所以e=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线方程PF2为y=（x-c）．

A，B的坐标满足方程组，

消y并整理得5x2-8xc=0，

解得x=0，x=c，得方程组的解为c，，

不妨设A（c，c），B（0，-c）．

所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．

圆心（-1，）到直线PF2的距离d=，

因为d2+(

|MN|

2

)2=42，所以（2+c）2+c2=16，整理得c=-（舍）或c=2．

所以椭圆方程为+=1．

（1）当椭圆的焦点在x轴上时，∵2c=8，∴c=4，

∴b2=a2-16．

∴椭圆方程为 +=1，

由+=1，解得a2=25，

∴椭圆的标准方程为 +=1．

（2）当椭圆的焦点在y轴上时，同理得椭圆的标准方程为+=1．

综上知，所求椭圆的方程为：+=1和+=1．

故答案：+=1和+=1．

（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

由已知，得∴∴b=．

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）由=e=，得PF=PM．∴PF≠PM．

①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．

②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．

∴=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由+=1，得y2=3-x2．

∴9+3-x2=16-8x+x2，∴x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．

∴x=或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=．∴P（，±）．

综上，存在点P（，±），使得△PFM为等腰三角形．