椭圆的标准方程及图象
共1400题

· 椭圆的标准方程及图象

椭圆的标准方程及图象
共1400题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知命题p：方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q：实数a满足不等式t2-（a-1）t-a＜0．

（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；

（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

正确答案

解（1）∵方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆

∴，解之得：-1＜t＜1…（6分）

（2）∵命题q：实数满足不等式t2-（a-1）t-a＜0，即（t+1）（t-a）＜0．

∴命题q为真命题，当a＞-1时，得到t∈（-1，a）；当a＜-1时，命题q为真命题得到t∈（a，-1）

∵命题P是命题q的充分不必要条件

∴集合{t|-1＜t＜1}是不等式t2-（a-1）t-a＜0解集的真子集…（9分）

由此可得a＞-1且（-1，1）（-1，a）

解之得：a＞1…（12分）

题型：填空题

填空题

①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”．

②在平面内，F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足||MF1|-|MF2||=4，则点M的轨迹是双曲线．

③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件．

④“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”．

⑤在四面体OABC中，=，=，=，D为BC的中点，E为AD的中点，则=++

⑥椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为5．

其中真命题的序号是：______．

正确答案

对于①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x+y=0”，正确；

对于②，动点M满足||MF1|-|MF2||=4＜6=|F1F2|，符合双曲线的定义，故②正确；

对于③，在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件，正确；

对于④，“若-3＜m＜5则方程+=1是椭圆”错误，当m=1时，是圆；

对于⑤，由于D为BC的中点，=（+）=（+），E为AD的中点，=（+）=（+（+））=++，故⑤正确；

对于⑥，由椭圆的方程与定义可知，2a=10，P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5，正确．

故真命题的序号是①②③⑤⑥．

题型：简答题

简答题

已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线-=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）

（1）当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当=λ时，求λ的最大值．

正确答案

（1）∵双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，

又＜1，∴∠POx=30°，即=tan30°=．

∴a=b．

又a2+b2=4，

∴a2=3，b2=1．

故椭圆C的方程为+y2=1．

（2）由已知l：y=（x-c），与y=x解得P（，），

由=λ得A（，）．

将A点坐标代入椭圆方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．

∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．

∴λ2==-[（2-e2）+]+3≤3-2．

∴λ的最大值为-1．

题型：简答题

简答题

已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，a=．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．

①若点M（-，0），求证：•为定值；

②求三角形OAB面积的最大值（O为坐标原点）．

正确答案

（1）因为已知椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，a=．

所以c=ae=，所以b==，

所以椭圆方程为：+=1．

（2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=（x+1），代入+=1中，

得（1+）x2+x+-5=0，

△=-4（+1）（-5）=+20＞0，x1+x2=-，x1x2=，

所以•=（x1+，y1）（x2+，y2）=（x1+）（x2+）+y1y2

=（x1+）（x2+）+（x1+1）（x2+1）

=（1+）x1x2+（+）（x1+x2）++

=（1+）+（+）（-）++=；

②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=|x1-x2|，

S△AOB=|ON||y1-y2|=×1×•=，

令12+5m2=t，则t≥12，m2=

∴S△AOB==，

∵t≥12，t++6是增函数，

∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为．

题型：简答题

简答题

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为，一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．

（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；

（Ⅱ）若在椭圆+=1(a＞b＞0)上的点（x0，y0）处的椭圆的切线方程是+=1．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．

（Ⅲ）是否存在实数λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（点C为直线AB恒过的定点）若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

（I）设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)．

抛物线y2=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又=，

所以a=2，b==，

所以所求的椭圆Ω方程为+=1…（4分）

（II）设切点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l上一点M的坐标（4，t）．

则切线方程分别为+=1，+=1．

又两切线均过点M，

即x1+y1=1，x2+y2=1，

即点A，B的坐标都适合方程x+y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，

故直线AB的方程是x+y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，

故直线AB恒过定点C（1，0）． …（9分）

（III）将直线AB的方程x=-y+1，代入椭圆方程，

得3(-y+1)2+4y2-12=0，即(

+4) y2-2ty-9=0

所以y1+y2=，y1y2=

不妨设y1＞0，y2＜0|AC|===y1，

同理|BC|=-y2…（12分）

所以+=•(-)=•=-•=-•=•=

即|AC|+|BC|=|AC|•|BC|．

故存在实数λ=，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|． …（15分）

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

百度题库 > 高考 > 数学 > 椭圆的标准方程及图象

扫码查看完整答案与解析