热门试卷

（Ⅰ）椭圆上的点到两个焦点的距离和为2，即2a=2，∴a=

椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，即e=

∵e=，∴=，

∴c=1

又∵a2=b2+c2，∴b=1．

又斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点，即椭圆的焦点在Y轴上

∴椭圆方程为+x2=1．

（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2+8＞0

x1+x2=，x1x2=-．

y1+y2=k(x1+x2)+2=．

设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(，)，

∵M（0，m），∴直线MN的斜率kMN=

∵直线MN为PQ的垂直平分线，∴kMN•k=-1，

可得•k=-1．即m=，

又k≠0，∴k2+2＞2，

∴0＜＜，即0＜m＜．

（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，

∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF，

∴S△MPQ=S△PMF +S△QMF =|FM||x1|+|FM||x2|=|FM|（|x1|+|x2|）

∵P，Q在y轴两侧，∴|x1|+|x2|=||（x1-x2）

∴S△MPQ=•|FM|•|x1-x2|，

∵|x1-x2|==，

由m=，可得k2+2=．

∴|x1-x2|==．

又∵|FM|=1-m，∴S△MPQ=(1-m)= ．

∴△MPQ的面积为（0＜m＜）．

设f（m）=m（1-m）3，则f'（m）=（1-m）2（1-4m）．

可知f（m）在区间(0，]单调递增，在区间(，)单调递减．

∴f（m）=m（1-m）3有最大值f()=．此时∴△MPQ的面积为×=

∴△MPQ的面积有最大值．

（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），

因为e==…（2分），所以c=…（3分），

所以b2=a2-c2=9-6=3…（4分），

所以椭圆C的方程为：+=1…（5分）

（2）直线方程与椭圆方程联立（x＞0），解得x=y=，即A(，)…（6分）

以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），

以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），

以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．

因为直线y=x倾斜角为，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），

即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．

（1）由题意知 e==，∴e2===，即a2=b2又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切

∴b==，∴a2=4，b2=3，

故椭圆的方程为+=1

（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．

疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0

由△＞0得：1024k4-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得k2＜             

设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴•=x1x2+y1y2=(1+k2)•-4k2•+16k2=25-

∵0≤k2＜，

∴•∈[-4，)

∴•的取值范围是[-4，)