· 椭圆的标准方程及图象

椭圆的标准方程及图象
共1400题

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题型：简答题

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简答题

椭圆的两焦点坐标分别为F1(-，0)和F2(，0)，且椭圆过点(1，-)．

（1）求椭圆方程；

（2）过点(-，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．

正确答案

（1）设椭圆的方程为+=1

∵焦点坐标为F1(-，0)与F2(，0)

∴a2=3+b2①

∵椭圆过点(1，-)

∴+=1②

解得a2=4，b2=3

所以椭圆方程为+y2=1

（2）设直线MN的方程为：x=ky-，

联立直线MN和曲线C的方程可得：

得：(k2+4)y2-ky-=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），A（-2，0），

则y1+y2=，y1•y2=-

则•=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)=(k2+1)y1y2+k(y1+y2)+=0

即可得，∠MAN=．

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题型：简答题

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简答题

椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P，Q，且|PQ|=，求椭圆的方程．

正确答案

e==，则c=a．由c2=a2-b2，得a2=4b2．

由消去x，得2y2+8y+16-b2=0．

由根与系数关系，得y1+y2=-4，y1y2=．

|PQ|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2 =5（y1-y2）2 =5[（y1+y2）2-4y1y2]=10，

即5[16-2（16-b2）]=10，解得b2=9，则a2=36．

所以椭圆的方程为+=1．

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：x-y+4=0，一个圆的圆心E在x轴正半轴

上，且该圆与直线l和直线x=-2轴均相切．

（Ⅰ）求圆E的方程；

（Ⅱ）设P（1，1），过P作圆E的两条互相垂直的弦AB、CD，求AC中点M的轨迹方程．

正确答案

（1）设圆心c（a，0），a＞0，半径为r，

∵该圆与直线l和直线x=-2轴均相切，

则⇒，所求圆的方程为．x2+y2=4；

(2)设M(x，y)，由得|OM|2+|MP|2=|OC|2

即x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4，整理得x2+y2-x-y-1=0即为所求轨迹方程．

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题型：简答题

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简答题

已知与向量=（1，）平行的直线l1过点A（0，-2），椭圆C：+=1（a＞b＞0）的中心关于直线l1的对称点在直线x=（c2=a2-b2）上，且直线l1过椭圆C的焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l2交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠，且（•）•sin∠MON=，（O为坐标原点），求直线l12的方程．

正确答案

解（Ⅰ）由题意得直线l1的方程为y=x-2，①

过原点垂直于l1的直线方程为y=-x②

解①②得：x=

因为椭圆中心O（0，0）关于直线l1的对称点在直线x=上，

∴=3

又∵直线l1过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），

∴c=2，a2=6，b2=2

故椭圆C的方程为+=1③

（II）当直线l1的斜率存在时，

设直线l1的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：

（3k2+1）x2+12k2x+12k2-6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）

则x1+x2=-，x1x2=

∴|MN|=|x1-x2|==

坐标原点O到直线l2的距离d=．

∵（•）•sin∠MON=，即S△MON=

而S△MON=||MN|d

∴|NM|d=，即=

解得k=±，此时直线l2的方程为y=±（x+2）

当直线l2的斜率不存在时，直线l2的方程为x=-2

此时点M（-2，），N（-2，-），满足S△MON=，

综上得，直线l2的方程为x=-2或±y+2=0．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的右焦点为F，离心率e=，椭圆C上的点到F的距离的最大值为+1，直线l过点F与椭圆C交于不同的两点A、B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若|AB|=，求直线l的方程．

正确答案

（1）由题意知，=，a+c=+1，

所以a=，c=1，从而b=1，

故椭圆C的方程为+y2=1

（2）容易验证直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x=my+1，代入+y2=1中，

得（m2+2）y2+2my-1=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）

则由根与系数的关系，得y1+y2=- y1y2=-，

|AB|=|y2-y1|====，

解得m=±，

所以直线l的方程为x=±y+1，即x-y-1=0或x+y-1=0．

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