热门试卷

设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）

则根据题意，双曲线的方程为

-=1且满足解方程组得

∴椭圆的方程为+=1，双曲线的方程-=1

（I）设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0)，则 =，c=a，

∴b2 = a2-c2= a2，

∵椭圆过点(，1)，∴ + =1，解得 a2=25，b2=9，

故椭圆C的方程为  +=1（4分）

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，

直线AB的方程为y=kx+m，因为A既在椭圆上，又在直线AB上，

从而有，消去y得：（25k2+9）x2+50kmx+25（m2-9）=0，

由于直线与椭圆相切，

故△=（50kmx）2-4（25k2+9）x25（m2-9）=0，从而可得：m2=9+25k2，①，x1=-，②

由．消去y得：（k2+1）x2+2kmx+m2-R2=0，

由于直线与圆相切，得m2=R2（1+k2），③，x2=-，④

由②④得：x2-x1=，由①③得：k2=，（9分）

∴|AB|2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=（1+k2）（x2-x1）2

=•=•= 25+ 9-R2-

≤34-=34-30=4

即|AB|≤2，当且仅当R=时取等号，所以|AB|的最大值为2（12分）

（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1

∴椭圆的方程为+y2=1

（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

则由韦达定理得x1+x2=x1x2=则=(m-x1，-y1)=(m-x2，-y2)

∴•=(m-x1)(m-x2)+y1y2=m2-m（x1+x2）+x1x2+y1y2

=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）

=m2-m++k2(-+1)

=要使上式为定值须=，解得m=∴•为定值当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，-)由E(，0)可得=(，-)=(，)∴•=-=综上所述当E(，0)时，•为定值

（1）∵椭圆的焦点在x轴，

∴设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

∵椭圆的焦距为2

∴c=1，焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0），

∵椭圆经过点A （-1，），

∴根据椭圆的定义，得2a=|AF1|+|AF2|=+=4，

可得a=2，所以b2=a2-c2=3，

∴椭圆方程为+=1；

（2）由（1）得，椭圆的顶点坐标：（±2，0）和（0，±）；

长轴长为4；短轴长为2；离心率e==．