热门试卷

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，则c=2．              …（1分）

由e==，得 a=2，从而b2=a2-c2=4．    …（4分）

所以，椭圆C的方程为+=1．                    …（5分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4（1+3k2）x2-60kx+27=0．             …（7分）

由△=3600k2-16（1+3k2）×27＞0，得k2＞，且x1+x2=． …（9分）

设线段AB的中点为D，则xD=，yD=kxD-=．…（10分）

由点A，B都在以点（0，3）为圆心的圆上，得kMD•k=-1，…（11分）

即 •k=-1，解得 k2=，符合题意．  …（13分）

所以 k=±．                          …（14分）

（1）由条件可知P(-c，-)，Q(c，)

因为kPQ=，所以e=（4分）

（2）由（1）可知，a=2c，b=c

所以A(0，c)，F1(-c，0)，B(3c，0)

从而M（c，0）．半径为a，

因为•=-a2，

所以∠EMF=120°，可得：M到直线l的距离为．

所以c=2，所以椭圆方程为+=1．（8分）

（3）因为点N在椭圆内部，

所以b＞3．（9分）

设椭圆上任意一点为K（x，y），

则KN2=x2+(y-3)2≤(6)2．

由条件可以整理得：y2+18y-4b2+189≥0

对任意y∈[-b，b]（b＞3）恒成立，

所以有：

或者

解之得：2b∈(6，12-6]（13分）

（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，

则由题设可知，

解此方程组得a=，b=1．

所以椭圆C的方程是+y2=1．…（5分）

（Ⅱ）假设存在点T（u，v）．若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-，

将它代入椭圆方程，并整理，得（18k2+9）x2-12kx-16=0

设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则…（7分）

因为=(x1-u，y1-v)， =(x2-u，y2-v)及y1=kx1-，y2=kx2-，

所以•=(x1-u)(x2-u)+(y1-v)(y2-v)=(k2+1)x1x2-(u+k+kv)(x1+x2)+u2+v2++=…（10分）

当且仅当•=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，

所以解得u=0，v=1．

此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（12分）

当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为x2+y2=1也过点T（0，1）．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件．…（14分）

（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0）．

由已知可得，解得a2=4，b2=1．

故椭圆C的标准方程为+y2=1．

（2）由已知，①若直线l的斜率不存在，则过点E（-1，0）的直线l的方程为x=-1，

此时A(-1，)，B(-1，-)，显然|EA|=2|EB|不成立．

②若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x+1）．

则，整理得（4k2+1）x2+8k2x+4k2-4=0．

由△=（8k2）2-4（4k2+1）（4k2-4）=48k2+16＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

故x1+x2=-，①x1x2=． ②

因为|EA|=2|EB|，所以=-2，则x1+2x2=-3．③

①②③联立解得k=±．            

所以直线l的方程为x+6y+=0和x-6y+=0．