热门试卷

（1）∵=，得=，∴渐近线l1，l2的方程为y=±3x；

（2）设M（x0，y0），A（x1，3x1），B（x2，-3x2），

=（x0-x1，y0-3x1），=（x0-x2，y0+3x2），

∴y0-3x1=3y0+9x2

∴y0=（-3x2-x1），∵-=1，

∴4b2=-12x1x2，即b2=-3x1x2，

∵•=8，

∴x1x2+3x1（-3x2）=8，x1x2=-1，

∴b2=3，a2=27，

∴椭圆的方程为；+=1．

（1）设椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0)．

由题意可得，解得，

∴椭圆C的方程为+=1．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，消去y得到（3+4k2）x2+8kmx+4m2-84=0．

∵△＞0，∴64k2m2-16（3+4k2）（m2-21）=0，化为m2=21+28k2．（*）

∴x1+x2=，x1x2=．（**）

∵OP⊥OQ，∴•=0．

∴x1x2+y1y2=0．

又y1y2=（kx1+m）（kx2+m），

∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．

把（**）代入可得++m2=0．

化为m2=12+12k2=12（1+k2），∴=2．

∴点O到直线l的距离d==2．

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a=b=，

故椭圆方程为+y2=1．    　　　　                …（5分）

（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

因为M（0，1），F（1，0），所以kPQ=1．                     …（7分）

于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，消元可得3x2+4mx+2m2-2=0．

由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=-，x1x2=．    …（9分）

由题意应有•=0，所以x1（x2-1）+y2（y1-1）=0，

所以2x1x2+（x1+x2）（m-1）+m2-m=0．

整理得2×-（m-1）+m2-m=0．

解得m=-或m=1．                               …（12分）

经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．

当m=-时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x-．…（13分）

（Ⅰ）设C1的方程为+y2=1，C2的方程为+y2=1，其中a＞1，0＜b＜1…（2分）

∵C1，C2的离心率相同，所以=1-b2，

所以ab=1，…．…（3分）

∴C2的方程为a2x2+y2=1．

当m=时，A(-，)，C(，)…．（5分）

又∵|AC|=，所以，+=，解得a=2或a=（舍），…．…..（6分）

∴C1，C2的方程分别为+y2=1，4x2+y2=1．…．（7分）

（Ⅱ）A（-a，m），B（-，m）． …（9分）

∵OB∥AN，∴kOB=kAN，

∴=，

∴m=． …．（11分）

e2=，

∴a2=，

∴m=． …（12分）

∵0＜m＜1，

∴0＜＜1，

∴＜e＜1…（13分）