热门试卷

（Ⅰ）由题意有 +=1，e==，a2-b2=c2，

解得a=，b=c=，

所以椭圆方程为+=1…（6分）

（Ⅱ）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y=k（x-3），

代入椭圆方程整理得（2k2+1）x2-12k2x+18k2-6=0…（8分）

△=24-24k2＞0，得k2＜1

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=

∴|MN|====

解得k=±，所求直线方程为y=±(x-3)…（14分）

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距是c．依题意，得 c=1．

因为椭圆C的离心率e==，

所以a=2，c=2，b2=a2-c2=3．

故椭圆C的方程为 +=1．

（Ⅱ）当MN⊥x轴时，显然y0=0．

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y=k（x-1）（k≠0）．

由 消去y整理得 （3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x3，y3），

则 x1+x2=．

所以 x3==，y3=k(x3-1)=．

线段MN的垂直平分线方程为y+=-(x-)．

在上述方程中令x=0，得y0==．

当k＜0时，+4k≤-4；当k＞0时，+4k≥4．

所以-≤y0＜0，或0＜y0≤．

综上：y0的取值范围是[-，]．

（1）设椭圆C的方程为：+=1(a＞b＞0)，

由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b2=a2-c2=9-8=1，

椭圆C的标准方程为：+y2=1；

（2）由，得10x2+36x+27=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-=-，

∴线段AB中点横坐标为-，代入方程y=x+2得y=-+2=，

故线段AB中点的坐标为（-，）．

（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，

由已知得，解得a=4，c=3，

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设M（x，y），其中x∈[-4，4]．

由已知=λ2及点P在椭圆C上，可得=λ2，

整理得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4，4]．

①λ=时，化简得9y2=112．

所以点M的轨迹方程为y=±（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段．

②λ≠时，方程变形为+=1，

其中x∈[-4，4]；

当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．